Un Límite de una Media Geométrica

Question

Tengo un problema de calcular el siguiente límite:

$\lim\limits_{n \to \infty}{ (1-2/3)^{3/n}*(1-2/4)^{4/n}...(1-2/(n+2))^\frac{n+2}{n}}$

Pensé que esto es una media geométrica de los n primeros elementos de la serie y lo que pensé que el límite debe ser el mismo que el límite de la infinitud de la serie: $$a_n=(1-2/(n+2))^{n+2}$$ which I though should be zero as n approaches infinity, since $(1-2/(n+2))<1$.

Les agradecería mucho si alguien me pudiera ayudar a entender este límite.

Answer 1

Voy a llamar a su secuencia $A_n$. Si tomamos el logaritmo de la secuencia que podemos encontrar:

$$\lim_{n\to\infty} \ln A_n = \lim_{n\to \infty} \frac1n \left(\sum_{k=1}^{n} (k+2)\ln\left(1-\frac{2}{k+2}\right) \right).$$

Si una secuencia $a_n$ converge, entonces su Cesaro significa que converge en el mismo valor: $$\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} \frac1n \sum_{k=1}^n a_k.$$

Por eso, deseamos mostrar que $(k+2)\ln\left(1-\frac{2}{k+2}\right)$ converge. Este es el mismo que el límite: $$\lim_{x\to \infty} \frac{\ln(1-2/(x+2))}{1/(x+2)}$$ y podemos utilizar la regla de l'Hospital para evaluar.

$$\lim_{x\to \infty} \frac{\ln(1-2/(x+2))}{1/(x+2)} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{1-2/(x+2)}\cdot \frac{2}{(x+2)^2}}{-(x+2)^{-2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{-2}{1-2/(x+2)}=-2.$$

Por lo tanto, el logaritmo de la secuencia converge a $-2$, y por lo tanto el original de la secuencia converge a $e^{-2}$, como se sospecha.