Es la conjugación de mapa siempre un isomorfismo?

Question

Dado un grupo de $G$ $a\in G$ fijo, definir $\phi: G \to G$$\phi(x) = axa^{-1}, x \in G$, me pregunto cuando $\phi$ es un isomorfismo. Creo que siempre es un isomorfismo, porque es de uno a uno, y el fin del dominio ($|G|$) y el orden de la gama son iguales. Estoy equivocado en pensar esto?

Answer 1

Dado un grupo de $G$ $a\in G$ fijo, definir $\phi: G \to G$$\phi(x) = axa^{-1}, x \in G$, demuestran que, a $\phi$ siempre es un isomorfismo.

Usted escribió:

• Creo que siempre es un isomorfismo, porque es de uno a uno, y el fin del dominio ($|G|$) y el orden de la gama son iguales. Estoy equivocado en pensar esto?

Que le da ese $\phi$ es bijective si $G$ es finito. De lo contrario, usted puede probar que $\phi$ es bijective estableciendo que $\phi^{-1}$ existe.

Para demostrar que siempre es un isomorfismo: usted también necesita mostrar que $\phi$ es un homomorphism: que es, que $\phi$ satisface la siguiente propiedad: $$\phi(xy) = \phi(x)\phi(y), \forall x, y \in G.$$ De la prueba es bastante sencillo:

Deje $x, y$ ser de cualquiera de los elementos en $G$. Entonces:

$$\phi(x)\phi(y) = (axa^{-1})(aya^{-1}) = ax(a^{-1}a)ya^{-1} = a(xy)a^{-1} = \phi(xy)$$

Answer 2

== $\,\phi\,$ es $\,1-1\,$: $\,\phi(x)=axa^{-1}=1\Longrightarrow x=a^{-1}a=1\Longrightarrow \ker\phi=\{1\}\,$

== $\,\phi\,$ es en: para todos los $\,y\in G\,\,,\,\phi(a^{-1}ya)=a(a^{-1}ya)a^{-1}=y\,$