¿Cuál es la probabilidad de que k + n^2 es squarefree, fijo k?

Question

Mientras jugueteaban con esta pregunta (cuando es la suma de dos cuadrados squarefree?), a partir de algunos experimental cálculos (y reforzado por el hecho de que la densidad de squarefree enteros positivos se sabe que existe), se me ocurrió la siguiente conjetura: la densidad asintótica de squarefree números en la secuencia $(k+1^2, k+2^2, k+3^2, \ldots)$, fijo k, existe y depende de k.

Para dar un ejemplo de lo que quiero decir, considerar los números de la forma $1 + n^2$. 895 de los números de $1+1^2, 1+2^2, \ldots, 1+1000^2$ son squarefree; 897 de los próximos mil; 895 de la tercera mil; 896 de la cuarta mil. 891 de los números de $1+1000001^2, \ldots, 1+1001000^2$ son squarefree, como son 895 de los números de $1+2000001^2, \ldots, 1+2001000^2$. Por lo que parece ser una constante $C_1$, probablemente entre 0,89 y 0.90, de tal manera que $1+k^2$ `probabilidad" $C_1$ de squarefree. Lo mismo parece suceder si reemplazamos 1 con otros enteros, aunque con otras constantes.

Son constantes sabe que existen? Si lo son, ¿cómo se calcula?

Answer 1

De manera más general, supongamos que $f(x) \in \mathbf{Z}[x]$ no tiene repetido factores. Para cada uno de los prime $p$, vamos a $c_p$ el número de enteros $x \in \{0,1,\ldots,p^2-1\}$ satisfacción $f(x) \equiv 0 \pmod{p^2}$. De forma heurística, la probabilidad de que un entero aleatorio $x$ es tal que $f(x)$ no es divisible por $p^2$ es igual a $1-c_p p^{-2}$, y estas condiciones deben ser independientes por el teorema del resto Chino, así que una conjetura de que la fracción de números enteros $x$ $\{1,2,\ldots,N\}$ tal que $f(x)$ es squarefree debe tienden a $\prod_p (1-c_p p^{-2})$, donde el producto es tomado todos los números primos $p$. Para un gran$p$,$c_p \le \deg f$, por lo que este producto converge.

Esta conjetura ha sido probado por $\deg f \le 3$ (en el caso de $\deg f=3$ es un resultado no trivial de C. Hooley). En particular, esto contesta a tu pregunta para $f(x)=x^2+k$. No es $f$ grado $4$ o mayor que la densidad se sabe que existe (salvo en los casos cuando la densidad es $0$ debido a que algunos $c_p$ es igual a $p^2$). Por otro lado, A. Granville demostrado que el $abc$ conjetura implica que la densidad existe y es igual al valor predicho por $f$ de cualquier grado. Para más referencias y una generalización para multivariable polinomios, ver los artículos citados en las referencias.

C. Hooley, En la energía libre de los valores de los polinomios, Mathematika 14 (1967), 21-26.

A. Granville, $ABC$ nos permite contar squarefrees, Comerc. De matemáticas. Res. Avisos de 1998, no. 19, 991-1009.

B. Poonen, Squarefree valores de multivariable polinomios, Duque de Matemáticas. J. 118 (2003), no. 2, 353-373.