O pregunta en nuestro

Question

Tengo una función real, $f(n,m)$, que no es necesariamente limitada ni necesariamente no negativo, pero tiene punto de sabio convergencia de: \begin{equation*} g(m) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n,m) \end{ecuación*} y $g(m)$ es finito para todos los enteros $m$.

Estoy examinando el intercambio de límites en \begin{equation*} \sum\limits_{m=1}^{\infty} \sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n,m) \sim \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{m=1}^{\infty} f(n,m) \end{ecuación*} y se conforma con la delimitación de la suma dentro de un (posiblemente infinita).

Si defino: \begin{equation*} g_{N}(m) = \inf_{K \ge N} \sum\limits_{k=1}^{K} f(k,m) \le g(m) \end{ecuación*} y \begin{equation*} h_{N}(m) = \sup_{K \ge N} \sum\limits_{k=1}^{K} f(k,m) \ge g(m) \end{ecuación*}

Entonces, puedo decir lo siguiente?

SI $\sum\limits_{m=1}^{\infty} g(m)$ converge, entonces el límite está dentro de los (posiblemente infinita) rango de: \begin{equation*} \begin{aligned} \liminf_{N \to \infty} \liminf_{M \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} \sum\limits_{n=1}^{N} f(n,m) &\le \lim_{M \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} g(m) \\ &\le \limsup_{N \to \infty} \limsup_{M \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} \sum\limits_{N=1}^{N} f(n,m) \end{aligned} \end{ecuación*}

Mi razonamiento es así: \begin{equation*} \begin{aligned} \liminf_{N \to \infty} \liminf_{M \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} \sum\limits_{n=1}^{N} f(n,m) &\le \liminf_{M \to \infty} \liminf_{N \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} \sum\limits_{n=1}^{N} f(n,m) \\ &\le \liminf_{M \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} \sum\limits_{N=1}^{\infty} g_{N}(m) \\ &\le \liminf_{M \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} g(m) \\ &\le \lim_{M \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} g(m) \\ &\le \limsup_{M \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} g(m) \\ &\le \limsup_{M \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} \sum\limits_{N=1}^{\infty} h_{N}(m) \\ &\le \limsup_{M \to \infty} \limsup_{N \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} \sum\limits_{N=1}^{N} f(n,m) \\ &\le \limsup_{N \to \infty} \limsup_{M \to \infty} \sum\limits_{m=1}^{M} \sum\limits_{N=1}^{N} f(n,m) \end{aligned} \end{ecuación*}

Con el entendimiento de que la $\liminf$ o $\limsup$ operaciones podrían divergir a $\pm \infty$ o convergen a valores diferentes, la declaración anterior es similar a la de Fatou de los Lemas, pero con el conteo medida y con un mucho, mucho más débil convergencia declaración.

Mi pregunta:

Es esta debilidad, la debilidad de la convergencia declaración verdadera para todos los $f(n,m)$? Si no es verdad, no puede un contador de ejemplo se proporciona?

Answer 1

Herea un contraejemplo:

Deje $f(n,m)$ se define de la siguiente manera. Fijo $m$, la secuencia de $f(n,m)$ es

$$f(n,m)=\left\{\begin{array}[l]\ 1\ \ \ \text{for}\ \ \ n\leq m\\ -m\ \ \ \text{for }\ \ \ n=m+1\\ 0\ \ \ \text{for}\ \ \ n>m+1\end{array}\right.$$

Por lo tanto $g(m)=0$ cualquier $m$ y, por tanto,$\sum g(m)=0$.

Por otra parte, para cualquier $N$,

$$\liminf_{M\to\infty} \sum_{m=1}^M\sum_{n=1}^N f(n,m)=\infty$$ porque

$$\sum_{m=1}^M\sum_{n=1}^Nf(n,m)=\sum_{m\leq N}\sum_{n=1}^Nf(n,m)+\sum_{m>N}\sum_{n=1}^Nf(n,m)=0+(M-N)\sum_{n=1}^N 1=(M-N)N$$

por lo tanto $$\liminf_{N\to\infty}\liminf_{M\to\infty} \sum_{m=1}^M\sum_{n=1}^N f(n,m)=\liminf_{N\to\infty}\infty=\infty$$

y por lo tanto la demanda $$\liminf_{N\to\infty}\liminf_{M\to\infty} \sum_{m=1}^M\sum_{n=1}^N f(n,m)\leq\sum g(m)$$ es falso

Answer 2

Considere la posibilidad de este infinito tabla: $$ \begin{pmatrix} * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & * & * & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & * & * & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & * & * & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} $$ Si pones los números de las estrellas se pueden construir todos los sistemas de fila y columna de sumas. Las secuencias de $R_n=\sum\limits_{k=1}^\infty f(n,k)$ $C_n=\sum\limits_{n=1}^\infty f(n,k)$ puede ser de cualquiera de las secuencias, de forma independiente.

Así que, sin supuestos adicionales que no hay tal declaración en cambiar el orden de las sumatorias.