¿Cuántos puntos debe el arco se cruzan?

Question

Supongamos que tenemos un cierto número de puntos de $\{x_i\}$, que se encuentran en un círculo.

Queremos posición de un arco en algún lugar en el círculo, que tiene un arco de longitud igual a $\frac1c$ de el círculo de la circunferencia, de tal manera que podamos reducir el número de las $\{x_i\}$ que se encuentran en el arco.

Podemos coloque siempre el arco que en la mayoría de los $\frac1c$ de los puntos que se encuentran en él?

Nota: al $c$ es un número entero, podemos hacer esto por el principio del palomar: cubrimos el círculo en $c$ de los arcos, y entonces uno de ellos debe tener $\frac1c$ o menos de la $\{x_i\}$ acostado en ella.

Answer 1

Si tenemos que $\frac1c=\frac{a}{b}$, entonces se puede considerar una generalización de su principio del palomar idea. Si tomamos $b$ copias del arco podemos cubrir el círculo de $a$ veces - también se podría pensar en esto como tener un círculo con $a$ veces la circunferencia, y los puntos de $\{x_i\}$ se repiten periódicamente a lo largo de ella.

Entonces, hay efectivamente $a|\{x_i\}|$ puntos distribuidos entre los $b$ arcos, y por su "caja de ideas", obtenemos que debe haber un arco con $\frac{a}{b}$ o menos puntos.

Podemos extender para el caso real por una continuidad en el argumento. Tenga en cuenta que puede enlazado la proporción arbitrariamente cerca por racionales en cualquiera de los lados.