Demuestre esta desigualdad$\sum \cos{A}\ge\frac{1}{4}(3+\sum\cos{(A-B)})$

Question

Demuestre que en cualquier triángulo$ABC$ la siguiente desigualdad tiene$$\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}\ge\dfrac{1}{4}(3+\cos{(A-B)}+\cos{(B-C)}+\cos{(C-A)})$ $

Y he obtenido$$8(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C})\ge 6+2(\cos{(A-B)}+\cos{(B-C)}+\cos{(C-A)})$ $

$$2(\cos{(A-B)}+\cos{(B-C)}+\cos{(C-A)})+3=(\sum_{cyc}\cos{A})^2+(\sum_{cyc}\sin{A})^2$ $$$\Longleftrightarrow 8\sum_{cyc}\cos{A}\ge 3+(\sum_{cyc}\cos{A})^2+(\sum_{cyc}\sin{A})^2$ $ then ¿Algún consejo, ideas? Gracias por adelantado.

Answer 1

use$$\sum\cos{A}=\dfrac{R+r}{R},\sum\cos{A}\cos{B}=\dfrac{s^2+r^2-4R^2}{4R^2},\sum\sin{A}\sin{B}=\dfrac{s^2+4Rr+r^2}{4R^2}$ $$$\Longleftrightarrow \dfrac{4R+4r}{R}\ge 3+\dfrac{s^2+r^2-4R^2}{4R^2}+\dfrac{s^2+4Rr+r^2}{4R^2}$ $$$\Longleftrightarrow 4R^2+6Rr\ge s^2+r^2$ $ use Gerrentsen inequality$$s^2\le 4R^2+4Rr+3r^2$ $ solo probamos que sigue$$4R^2+6Rr\ge 4R^2+4Rr+4r^2$ $ it igual a la desigualdad de Euler$$R\ge 2r$ $