Pregunta de probabilidad sobre la búsqueda de una bola defectuosa en una caja específica

Question

Hay dos cajas, cada una con dos bolas. Cada bola es defectuosa con una probabilidad de 1/4, independientemente de las otras bolas. La probabilidad de que una caja contenga exactamente una bola defectuosa es

A) 3/8 B) 5/8 C) 15/32 D) 17/32

Una caja puede ser elegida de 2 maneras y una bola en esa caja puede ser elegida de 2 maneras. Por lo tanto, 4 formas. La probabilidad de 1 bola defectuosa y 3 normales es de 27/256.

El número total de posibilidades es 4C0(81/256)+4C1(27/256)+4C2(9/256)+4C3(3/256)+4C4(1/256)=256/256=1.

Así que pensé que la respuesta debía ser 27/64. Esto es diferente de las opciones dadas. ¿Es mi método incorrecto?

Answer 1

La probabilidad de que la caja A tenga exactamente $1$ defectuoso es $2(1/4)(3/4))$ Es decir, $3/8$ . Lo mismo ocurre con la caja B.

Así que la probabilidad de que la caja A tenga exactamente $1$ defectuosa y la caja B no (porque tiene $0$ o $2$ ) es $\frac{15}{64}$ . Dobla esto.

Observación: El evento "exactamente $1$ caja tiene exactamente $1$ defectuoso" no es lo mismo que el evento " $1$ defectuoso y $3$ bueno". Porque podríamos tener $3$ defectuoso y $1$ bueno. Eso añadiría $\frac{3}{64}$ a su $\frac{27}{64}$ , dando $\frac{30}{64}$ , lo que simplifica la respuesta C).

Answer 2

Hay que leer la pregunta con mucho cuidado y, de hecho, no estoy del todo seguro de que se plantee sin ambigüedades. Yo interpretaría que se pide la probabilidad de que una caja contenga una bola defectuosa, y la otra no (es decir, la otra contiene $0$ o $2$ bolas defectuosas).

Ahora la probabilidad de que una caja contenga exactamente una bola defectuosa es

• $\frac14$ (la primera bola defectuosa). . .
• veces $\frac34$ (la segunda bola OK). . .
• veces $2$ (las bolas podrían ser al revés)

que es $\frac38$ . La probabilidad de que la otra caja no esté en esta situación es $\frac58$ . Multiplique estos, y multiplique por $2$ ya que las cajas podrían ser al revés, para dar la probabilidad final $$\frac{15}{32}\ .$$

Consulte la probabilidad de que una caja no tenga un defecto es la probabilidad de que tenga $0$ o $2$ defectuosos, que es $$\Bigl(\frac34\Bigr)^2+\Bigl(\frac14\Bigr)^2=\frac{10}{16}=\frac58$$ como se ha visto anteriormente.