Dilataciones de funciones integrables convergen a cero casi en todas partes

Question

Supongamos $f:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$ es integrable. Set $f_{n}(x):=f(nx)$. Quiero mostrar que la $f_{n}(x)\rightarrow 0$ casi en todas partes o, equivalentemente, el conjunto $$\{x : \limsup_{n}f_{n}(x)\geq\delta\}$$ tiene medida cero, para cualquier $\delta>0$.

Por la dilatación de la invariancia, es claro que $f_{n}\rightarrow 0$ $L^{1}$ y por lo tanto también en su medida. Además, se puede pasar a una larga para obtener una.e. la convergencia. Si $f$ tiene soporte compacto, entonces es obvio que $f_{n}\rightarrow 0$ en casi todas partes.

Mi idea era la de intentar aproximar $f$ $L^{1}$ $g\in C_{c}(\mathbb{R})$ y usar algo como

$$|\{\limsup f_{n}\geq\delta\}|\leq|\{\limsup|f_{n}-g_{n}|\geq\delta/2\}|+|\{\limsup|g_{n}|\geq\delta/2\}|$$

y partir de ahí. Pero no estoy seguro de cómo controlar el primer término en el lado derecho. Alguna sugerencia?

Answer 1

Fix$a,b$ con$0<a<b$. Es suficiente para mostrar que$$\int_a^b\sum_nf_n<\infty.$$ But $ \ int_a ^ bf_n = \ frac1n \ int_ {na} ^ {nb} f$, so $$\int_a^b\sum_nf_n=\int_a^\infty\phi f,$$where $$\phi=\sum\frac1n\chi_{(na,nb)}.$$So it's enough to show that $ \ phi$ is bounded on $ (a, \ infty) $.

Y$\phi$ ciertamente está acotado en$(a,R)$ para cualquier$R<\infty$, por lo que solo debemos obtener un límite en$\phi(x)$ para$x$%. Ahora,$$\phi(x)=\sum_{n\in\left(x/b,x/a\right)}\frac1n.$$At least for large $ x$ it seems clear that this is bounded by something like $$O(1)+\int_{x/b}^{x/a}\frac{dt}{t}=O(1)+\log(b/a)=O(1).$ $