Orden de intercambio de cuantificadores "casi todos"

Question

¿Es siempre cierto que $$\forall^\star x\, \forall^\star y\,P(x,y) \Leftrightarrow \forall^\star y\, \forall^\star x\,P(x,y)$$

donde $x,y$ se toman de espacios de medida (distintos), $P$ es un predicado medible, y el $\forall^\star$ ¿el cuantificador es "casi todo"? Me parece bien asumir que ambos espacios de medida son espacios de probabilidad completos.

(Creo que es cierto y se deduce del teorema de Tonelli, pero no estoy seguro de estar en lo cierto).

Answer 1

Ok, déjame primero darte la prueba en el caso de que $M := \{(x,y) \in X\times Y \mid P(x,y)\}$ es medible.

Denotemos las medidas en $X,Y$ por $\mu, \nu$ . También supondremos que $\mu, \nu$ son $\sigma$ -finito, por lo que es aplicable el Teorema de Fubini-Tonelli. Por supuesto, esto es cierto si ambas medidas son medidas de probabilidad.

Supongamos que $\forall^{\ast} x \in X \forall^{\ast} y\in Y: P(x,y)$ . Utilizando Fubini-Tonelli, derivamos

$$\int_Y \int_X \chi_{M^c} (x,y) d\mu(x) d\nu(y) = \int_X \int_Y \chi_{M^c} (x,y) d\nu(y) d\mu(x).$$

Según nuestra suposición, existe un conjunto nulo $N \subset X$ tal que para cada $x \in X\setminus N$ hay un conjunto nulo $N_x \subset Y$ tal que $P(x,y)$ es válida para todos los $y \in Y \setminus N_x$ . Esto significa que $(x,y) \notin M^c$ para todos $y \in Y \setminus N_x$ es decir, si $\chi_{M^c}(x,y) = 1$ entonces $y \in N_x$ . Esto demuestra que $\chi_{M^c}(x,y)$ desaparece fuera del conjunto nulo $N_x$ por cada $x \in X\setminus N$ .

Así, $\int_Y \chi_{M^c}(x,y) d\nu(y) = 0$ para $x \in X\setminus N$ . Como $N$ es un conjunto nulo, obtenemos

$$\int_X \int_Y \chi_{M^c}(x,y) d\nu(y) d\mu(x) = 0.$$

Por la ecuación anterior, derivamos

$$\int_Y \int_X \chi_{M^c} (x,y) d\mu(x) d\nu(y) = 0.$$

Pero la función $y \mapsto \int_X \chi_{M^c}(x,y) d\mu(x)$ es no negativo. La desaparición de la integral implica, por tanto, que existe un conjunto nulo $N' \subset Y$ con $\int_X \chi_{M^c}(x,y) d\mu(x) = 0$ para todos $y \in Y \setminus N'$ .

No la función $\chi_{M^c}(\cdot, y)$ es de nuevo no negativo, por lo que obtenemos un conjunto nulo $N'_y \subset X$ con $\chi_{M^c}(x,y) = 0$ para todos $x \in N'_y$ .

Pero esto significa $(x,y) \in M$ es decir $P(x,y)$ es válida para todos los $y \in Y \setminus N'$ y todos $x \in X \setminus N'_y$ es decir

$$\forall^{\ast} y \in Y \forall^{\ast} x \in X: P(x,y).$$

Ahora a la contraejemplo en el caso de que $M$ no es medible:

El siguiente contraejemplo para el caso no medible se encuentra en Rudin, Real and Complex Analysis, 8.9:

Suponemos que la hipótesis del continuo (cf. http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis ), es decir, suponemos que todo subconjunto incontable de $\mathbb{R}$ está en biyección con $\mathbb{R}$ .

Esto implica que la cardinalidad de $\Bbb{R}$ (o de $[0,1]$ ) es el primer ordinal incontable (cf. http://en.wikipedia.org/wiki/First_uncountable_ordinal ), por lo que existe una biyección $j : [0,1] \rightarrow \alpha$ , donde $\alpha$ está bien ordenado y es tal que $\{x \in \alpha \mid x \leq y\}$ es contable para cada $y \in \alpha$ .

Ahora dejemos que

$$Q := \{(x,y) \in [0,1] \times [0,1] \mid j(x) \leq j(y)\}$$

Esto implica que

$$Q_x := \{y \in [0,1] \mid (x,y) \in Q\} = \{y \in [0,1] \mid j(x) \leq j(y)\}$$ contiene todos los puntos de $[0,1]$ para cada $x \in [0,1]$ mientras que $Q^y$ (definida análogamente) sólo contiene un número cuantificable de puntos de $[0,1]$ para cada $y \in Y$ .

Esto muestra

$$\int_{[0,1]} \int_{[0,1]} \chi_Q (x,y) dx \, dy = \int_{[0,1]} |Q^y| \, dy = 0,$$

pero

$$\int_{[0,1]} \int_{[0,1]} \chi_Q (x,y) dy \, dx = \int_{[0,1]} |Q_x| \, dx = \int_{[0,1]} 1 \, dx = 1.$$

Ahora el argumento de la prueba anterior muestra que $\forall^{\ast} y \in Y \forall^{\ast} x\in X: (x,y) \notin Q$ se mantiene, pero la afirmación con los cuantificadores intercambiados no se mantiene.