Probando$1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$, dado$abc=1$

Question

Deje que a, b, c sean números positivos tales que$abc=1$. Pruebalo $1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$

Los métodos habituales no parecen funcionar, incluida una sustitución$a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}$ e intentar aplicar la desigualdad de Muirhead.

Answer 1

Tenemos$(ab+bc+ca)^2 \geq 3 (a+b+c)abc $, que es equivalente a$ (ab-bc)^2 + (bc-ca)^2 + (ca-ab)^2 \geq 0$. Por lo tanto,

ps

Answer 2

$$\Longleftrightarrow (ab+bc+ac)+\dfrac{3(ab+bc+ac)}{a+b+c}\ge 6$ $ dado que por$AM-GM$ desigualdad$$ (ab+bc+ac)+\dfrac{3(ab+bc+ac)}{a+b+c}\ge 2\sqrt{\dfrac{3(ab+bc+ac)^2}{a+b+c}}$ $$$\Longleftrightarrow2\sqrt{\dfrac{3(ab+bc+ac)^2}{a+b+c}}\ge 6$ $$$\Longleftrightarrow (ab+bc+ac)^2\ge 3(a+b+c)$ $ desde$AM-GM$$$(ab+bc+ac)^2\ge 3abc(a+b+c)=3(a+b+c)$ $ Por Listo.