Explicar cómo calcular$\cos(2\pi/13)$ resolviendo ecuaciones cuadráticas y cúbicas solamente

Question

Sé que podemos expresar$2\pi/13$ como una raíz de unidad en el círculo unitario, tomando$z^{13} = 1$ y$z=\cos(2\pi/13)+i\sin(2\pi/13)$ y que deberíamos poder encontrar un polinomio para esto sobre los números racionales, y porque no es construible, consistirá en polinomios irreducibles de grados 2 y 3. Pero no estoy seguro de ningún método para hacerlo.

Answer 1

Usted puede utilizar el triple del ángulo y de la cuádruple ángulo de la fórmula para el coseno.

\begin{align} &\cos x = \cos \frac{2\pi}{13}\\ &\cos 4x = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1\\ &\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x\\ &\cos 9x = 4 (4 \cos^3 x - 3 \cos x)^3 - 3 (4 \cos^3 x - 3 \cos x)\\ &\cos (4x+9x) = \cos 4x \cos 9x - \sin 4x \sin 9x \\ &= \cos 4x \cos 9x - \sqrt{1-\cos^2 4x} \sqrt{1-\cos^2 9x} = 1\\ &(\cos 4x \cos 9x -1)^2= (1-\cos^2 4x)(1-\cos^2 9x)\\ &\cos^2 4x + \cos^2 9x - 2\cos 4x \cos 9x = (\cos 4x -\cos 9x)^2=0\\ &\cos 4x = \cos 9x\ \end{align} Fue sólo después de que he llegado a la línea de arriba que me di cuenta $$4\times \frac{2\pi}{13}+9\times \frac{2\pi}{13}=2\pi$$ Así que podría haber obtenido el $\cos 4x = \cos (2\pi-4x)= \cos 9x$ directamente.

De todos modos, vamos a seguir adelante para encontrar la ecuación \begin{align} &\cos x \mapsto y\\ &8y^4-8y^2+1=4(4y^3-3y)^3-3(4y^3-3y)\\ &(y-1)(4y^2+2y-1)(64y^6+32y^5-80y^4-32y^3+24y^2+6y-1)=0 \end{align}

$y-1=0$ es para el trivial solución de $x=0$. Y $4y^2+2y-1$ debe venir de cada uno de esos pasos de la cuadratura y la triplicación de polinomios para obtener $\cos 3x$$\cos 4x$.

Así que el final de la ecuación que se busca es $$64y^6+32y^5-80y^4-32y^3+24y^2+6y-1=0$$ que tiene 6 las raíces reales y uno de ellos es el $\cos \frac{2\pi}{13}$.

Answer 2

Deje $\zeta = \exp(2i\pi/13)$.

Es bien sabido que $\Bbb Q(\zeta)$ es una extensión de Galois de $\Bbb Q$ cuyo grupo de Galois es isomorfo a $(\Bbb Z/13\Bbb Z)^*$ a través de los mapas inducida por $a \mapsto (\sigma_a : \zeta \mapsto \zeta^a)$

Por el teorema fundamental de la teoría de Galois, sus subgrupos corresponden a los subcampos de $\Bbb Q(\zeta)$.

Para empezar, $x = 2\cos(2\pi/13) = \zeta+\zeta^{12}$ es invariante por $\{\sigma_1,\sigma_{12}\}$ por lo que el grupo de Galois de $L = \Bbb Q(x)$ es el cociente $G = (\Bbb Z/13\Bbb Z)^*/\{\pm1\}$, que es un grupo cíclico de orden $6$. Y por lo $x$ es una raíz de un grado $6$ polinomio sobre $\Bbb Q$.

Con el fin de "descomponer" el cálculo se puede encontrar un intermedio subcampo de $L$ / subgrupo de $G$, que se dividió en dos pasos.

Por ejemplo, supongamos $H = \{\pm 1, \pm 5\}$. Los conjugados de la $x$$L^H$$x$$\sigma_5(x) = \zeta^5 + \zeta^8$. Por lo $x$ es una raíz de un polinomio de grado $2$$L^H$, $(X-x)(X-\sigma_5(x)) = X^2 - (\zeta+\zeta^5+\zeta^8+\zeta^{12})X + (\zeta^4+\zeta^6+\zeta^7+\zeta^9)$

Deje $y_1 = \zeta+\zeta^5+\zeta^8+\zeta^{12} \in L^H$. Desde $G/H$ orden $3$, es una raíz de un polinomio de grado $3$$\Bbb Q$. Sus dos conjugados se $y_2 = \sigma_2(y_1) = \zeta^2 + \zeta^3+\zeta^{10}+\zeta^{11}$ $y_3 = \sigma_4(y_1) = \zeta^4+\zeta^6+\zeta^7+\zeta^9$

Ahora, ellos son la raíz de la $(Y-y_1)(Y-y_2)(Y-y_3) = Y^3 - (\sum \zeta^k)Y^2 + 4(\sum \zeta^k)Y-(4+5\sum \zeta^k) = Y^3 + Y^2 - 4Y + 1$.

Además, $y_3$$\Bbb Q(y_1)$, por lo que tiene que ser una expresión polinómica en $y_1$. Calculamos el $y_1^2 = 4 + y_2 + 2y_3$$y_2+y_3 = -1-y_1$, que da $y_3 = y_1^2+y_1-3$.

Poner todo junto, esto le da una manera de calcular $x$ mediante la resolución de un grado $3$ y un grado de $2$ ecuación :

• encontrar una raíz de $y_1$$Y^3+Y^2-4Y+1$.
• calcular $y_3 = y_1^2+y_1-3$
• encontrar una raíz de $x$ $X^2-y_1X+y_3$

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Tenga en cuenta que podríamos haber elegido otro subgrupo $H' = \{\pm 1, \pm 3, \pm 4\}$ y daría otro método, en el que primero vamos a resolver un grado $2$ ecuación y, a continuación, un grado $3$.

Un tercer método (el mejor ?) es el uso de ellas a la vez :

Ya sabemos $y_1 = \sum_{a \in H} \sigma_a(\zeta)$ tiene un mínimo de polinomio $Y^3+Y^2-4Y+1$.
Deje $z_1 = \sum_{a \in H'} \sigma_a(\zeta)$. Su conjugado$\Bbb Q$$z_2 = \sigma_2(z_1)$, y $(Z-z_1)(Z-z_2) = Z^2-(\sum \zeta^k)Z+(3\sum \zeta^k) = Z^2+Z-3$

Desde $\Bbb Q(y_1,z_1)$ es un subcampo de la $L$ y no se fija por cualquier elemento de $G$, tiene que ser $G$. Mediante el cálculo de $(1,y_1,y_1^2,z_1,y_1z_1,y_1^2z_1)$ en base a la $(\sigma_a(x))_{x\in G}$ $L$ y, a continuación, la solución de un sistema lineal en $6$ dimensiones, se obtiene la expresión de la $x$ como un polinomio en $y_1,z_1$.