Región en plano complejo con$|1-z|\leq M(1-|z|)$

Question

Dejar $M>0$. Describe la región en el plano complejo tal que$|1-z|\leq M(1-|z|)$.

Para comenzar, tomo$M=1$. La desigualdad se convierte en$|1-z|\leq 1-|z|$. Pero por desigualdad triangular, tenemos$|1-z|+|z|\geq |(1-z)+z| = 1$. Debemos tener igualdad, y se cumple cuando$z\in [0,1]$.

Para% arbitrario $M$, la desigualdad se convierte en$|1-z|+M|z|\leq M$. Realmente no sé qué hacer con esto, excepto que cualquier$|z|>1$ está claramente descartado porque entonces$M|z|>M$.

Answer 1

Su región consta de todos$z \in \mathbb C$, de modo que la proporción$$\frac{|1-z|}{1-|z|} $$ is bounded (by $ M $). Como mencionó, solo los puntos dentro del disco de la unidad son admisibles.

Más precisamente, la región es un subconjunto del disco de la unidad, que se encuentra dentro de una cuña circular de ángulo$\alpha=\alpha(M)$ (el ángulo de Stolz). Cuanto mayor sea$M$, mayor será el$\alpha(M)$ (como mencionó$\alpha(0)=0)$.

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