Estoy tratando de probar eso
ps
donde$$ \operatorname{fib}(n)<\left(\frac{5}{3}\right)^n $ es el número$\operatorname{fib}(n)$ de Fibonacci. Para una prueba utilicé la inducción, como sabemos
ps
y así. Entonces para$n^{th}$; $$\operatorname{fib}(1)=1,\, \operatorname{fib}(2)=1,\, \operatorname{fib}(3)=2$, y por general$n=1$ tendremos
$\operatorname{fib}(1)<\frac{5}{3}$ $ Primero que nada,$n>1$ $
Tenemos$$\operatorname{fib}(n+1)<\left(\frac{5}{3}\right)^{n+1}$ y$$\left(\frac{5}{3}\right)^{n+1} = \left(\frac{5}{3}\right)^{n} \cdot \left(\frac{5}{3}\right)$, así que por inducción tendremos$\operatorname{fib}(n)<\left(\frac{5}{3}\right)^n$, y como$\operatorname{fib}(n+1)=\operatorname{fib}(n)+\operatorname{fib}(n-1)$, tenemos$\operatorname{fib}(n-1)<\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}$, por lo que obtenemos el resultado correcto. ¿Hay algún defecto en mi prueba?
