Generadores del grupo multiplicativo módulo $2^k$

Question

En la mayoría de los libros y notas de clase que dan explícitamente los generadores del grupo multiplicativo de los enteros Impares modulo $2^k$ el conjunto $\{-1, 5\}$ se ofrece.

Sin embargo, el número 5 puede sustituirse por el 3, que parece más lógico para una elección estándar. La prueba que conozco no sufre estos cambios.

¿Existe alguna razón particular para esta elección tradicional del generador?

Answer 1

Estoy de acuerdo con David Loeffler en que hay muy poco detrás de esto. Las pocas razones para preferir cinco sobre tres que se me ocurren son (todas relacionadas):

1. El orden de $5$ modulo $2^n, n\ge2,$ es siempre $2^{n-2}$ pero con $3$ debemos hacer una excepción, cuando $n=2$ . Así que el uso de cinco permite una descripción un poco más uniforme.
2. El coset de $5$ genera el núcleo de la proyección natural $\mathbb{Z}_{2^n}^*\rightarrow \mathbb{Z}_4^*, n\ge2.$
3. Tenemos la conocida realización de $\mathbb{Z}_{2^n}^*$ como el grupo de Galois $Gal(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q})$ , donde $\zeta=e^{2\pi i/2^n}$ y la unidad $u$ corresponde al automorfismo $\sigma_u:\zeta\mapsto\zeta^u$ . Como $5\equiv 1\pmod 4$ la cuarta raíz de la unidad se fija bajo $\sigma_5$ y se deduce fácilmente que el campo de invariantes es $\mathrm{Inv}(\langle\sigma_5\rangle)=\mathbb{Q}(i)$ que es, quizás, el subcampo cuadrático que primero viene a la mente. Por otra parte (suponiendo que $n\ge3$ ) tenemos $\mathrm{Inv}(\langle\sigma_3\rangle)=\mathbb{Q}(\sqrt{-2}),$ que es un poco menos obvio.

Answer 2

He visto que esto se demuestra al probar que $5^{2^{k-3}} \equiv 1 + 2^{k-1} \not\equiv 1\bmod 2^k$ , para $k\ge 3$ , utilizando la inducción. (Véase, por ejemplo Teoría elemental de los números por Bolker).

Por otro lado, $3^{2^{k-3}} \equiv 1 + 2^{k-1} \bmod 2^k$ , para $k\ge 4$ pero no para $k=3$ aunque sigue siendo cierto que $3^{2^{k-3}} \not\equiv 1\bmod 2^k$ para $k=3$ .

Por lo tanto, utilizando $5$ permite una prueba ligeramente más corta.