¿Cuáles son los equivalentes de primos en$\Bbb C$?

Question

Nota: me hicieron una pregunta similar anterior sobre los números enteros, y me aconsejaron que crear uno nuevo a la cuestión del plano complejo

El concepto convencional de los números primos que realmente tiene valor sólo para los números naturales, como determinado $\Bbb Z$, cualquier prime $p$ puede dividirse en $(1,p)(1,p)$$(−1,−p)(−1,−p)$. Y cuando uno incluye irrationals, el concepto se descompone aún más.

Mi pregunta es, ¿hay números en $\Bbb C$ que sólo se puede dividir por 1 y a sí mismos? O es que el concepto no extensible más allá de ℕ?

Answer 1

El concepto puede ser extendido en una variedad de maneras, pero no a $\mathbb{C}$ en una manera interesante. (*)

Usted está tratando de describir irreducibles, aquellos números que no puede ser factorizado (excepto por el uso de unidades como $1,-1$). Hay muchos anillos (como $\mathbb{Z}$) y semigroups (como $\mathbb{N}$), donde este es un concepto interesante.

Aquí está mi favorito, fácil, ejemplo: $2\mathbb{N}=\{2,4,6,8,\ldots\}$, el conjunto de incluso números naturales. $6$ es irreductible, porque la única forma de factor de es $2\cdot 3$, el cual se utiliza un "ilegal", es decir, no en el semigroup. Por lo tanto $6$ es irreductible. Por una lógica similar, $10$ es irreductible. Resulta que $30$ también es irreducible, porque $30=2\cdot 3\cdot 5$, y sólo hay un $2$ disponible, así que no importa cómo usted factor de $30$, sólo uno de los dos factores obtener un $2$.

Por lo tanto, en este semigroup, obtendrá dos diferentes factorizations de $60$ en irreducibles: $$6\cdot 10=2\cdot 30$$

Usted puede haber notado que no me llaman a estos "primos", en lugar irreducibles. La razón es que los dos términos se utilizan para significar cosas ligeramente diferentes: un primer $p$ es un número que satisface $$ \text{ if } p|xy\text{ then } p|x\text{ or } p|y$$

Resulta que cada prime es siempre irreductible, pero no todos los irreducible es primo. En el ejemplo, $2\mathbb{N}$ por encima de, $2$ divide $2\cdot 30$, pero $2$ no dividir cualquiera de las $6$ o $10$ (porque si $2|6$, $6=2\cdot 3$ sería una factorización en $2\mathbb{N}$, que no lo es). Por lo tanto $2$ es irreductible, pero no prime en este semigroup.

(*) La razón es que en $\mathbb{C}$, cada número distinto de cero es una unidad, por lo que no hay irreducibles.

Answer 2

No hay números primos en$\mathbb{C}$ porque cada elemento distinto de cero de$\mathbb{C}$ es invertible, por lo que cada elemento distinto de cero de$\mathbb{C}$ se divide entre sí.

Esto se refleja en la definición de un elemento principal para un anillo conmutativo, que requiere que los elementos primos sean distintos de cero y no invertibles.