Transformada de Fourier de la derivada

Question

Considere una función $f(t)$ con la transformada de Fourier $F(s)$ . Así que $$F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) \ dt$$

¿Cuál es la transformada de Fourier de $f'(t)$ ? Llámalo $G(s)$ .así que $$G(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f'(t) \ dt$$

¿Consideraríamos $\frac{d}{ds} F(s)$ y tratar de escribir $G(s)$ en términos de $F(s)$ ?

Answer 1

Una forma más sencilla, utilizando el antitransformación :

$$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \, e^{i \omega t} d\omega$$

$$f'(t) = \frac{d}{dt}\!\left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \, e^{i \omega t} d\omega \right)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} i \omega \, F(\omega) \, e^{i \omega t} d\omega$$

Por lo tanto, la transformada de Fourier de $f'(t)$ es $ i \omega \, F(\omega)$

Answer 2

La transformada de Fourier de la derivada es (véase, por ejemplo, Wikipedia ) $$ \mathcal{F}(f')(\xi)=2\pi i\xi\cdot\mathcal{F}(f)(\xi). $$

¿Por qué?

Utiliza la integración por partes: $$ \begin{align*} u&=e^{-2\pi i\xi t} & dv&=f'(t)\,dt\\ du&=-2\pi i\xi e^{-2\pi i\xi t}\,dt & v&=f(t) \end{align*} $$ Esto da como resultado $$ \begin{align*} \mathcal{F}(f')(\xi)&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i\xi t}f'(t)\,dt\\ &=e^{-2\pi i\xi t}f(t)\bigr\vert_{t=-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}-2\pi i\xi e^{-2\pi i \xi t}f(t)\,dt\\ &=2\pi i\xi\cdot\mathcal{F}(f)(\xi) \end{align*} $$ (El primer término debe desaparecer, ya que suponemos $f$ es absolutamente integrable en $\mathbb{R}$ .)