Muestran que

Question

Cómo mostrar:

$E(|X-a|) = \int_{-\infty}^a P(X < x) \, dx + \int_a^\infty P(X > x) \, dx$.

Tengo:

$$E(|X-a|) = \int |X-a| \, dP = \int_{\mathbb{R}} |x-a| P_X(dx) = \int_{(-\infty,a)} a-x P_X(dx) + \int_{(a,\infty)} x-a P_X(dx)$$

Pero no veo a dónde ir. Y cómo hago para llegar a la definición de la integral Integral? Es sólo $E(|X|)<\infty$ conocido, pero nada acerca de una función de densidad (en este caso me gustaría saber cómo llegar a la integral de Riemann).

---

$$E(|X-a|) = \int_{(0,\infty)} P(|X-a| > t) \lambda(dt) = \int_{(0,\infty)} P(\max(X-a,0)+\max(a-X,0) > t) \lambda(dt)$$

Esto le da, ya que los eventos son disjuntos, y con Rieman-integrabilidad:

$$E(|X-a|) = \int_0^{\infty} P(\max(X-a,0) > t) + P(\max(a-X,0) > t) dx$$

Cómo ir? Integral es lineal, pero no sé cómo la separación de ellos, sería de ayuda..

---

Finalmente es probada por primera vez que:

$E(|X|) = \int_{-\infty}^0 P(X < x) \, dx + \int_0^\infty P(X > x) \, dx$.

Ahora quiero terminar de $|X-a|$.

$E(|X-a|) = \int_{-\infty}^0 P(X-a < x) \, dx + \int_0^\infty P(X-a > x) \, dx$ $= \int_{-\infty}^0 P(X < x+a) \, dx + \int_0^\infty P(X > x+a) \, dx$ $= \int_{-\infty}^a P(X < x) \, dx + \int_a^\infty P(X > x) \, dx$

Answer 1

Creo que sería más fácil si comenzamos con la fórmula$$\mathbb E(Y)=\int_0^{+\infty}\mathbb P\{Y>t\}\mathrm dt,$ $ donde$Y$ es una variable aleatoria no negativa.

Luego observe que para un número real$x$, tenemos$|x|=\max\{x,0\}+\max\{0,-x\}$.

Haciendo una sustitución$u=x-a$ en la integral dos en el RHS de la igualdad que queremos probar, notamos que podemos suponer que$a=0$.

Por lo tanto, tenemos$$\mathbb E|X|=\mathbb E\max\{X,0\}+\mathbb E\max\{0,-X\}.$ $ Tenemos para$t>0$$$\{\max\{X,0\}>t\}=\{X>t\}$ $ y$$\{\max\{-X,0\}>t\}=\{X<-t\},$ $, por lo tanto obtenemos el resultado integrante.

Answer 2

Normalmente, para un resultado positivo de la variable, creo que de $$ \mathrm{E}(Y)=-\int_0^\infty x\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}P(Y\ge x)\,\mathrm{d}x $$ Desde $-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}P(Y\ge x)$ es la densidad de probabilidad de $Y$ estar cerca de $x$. $P(Y\ge x)$ es monótona decreciente y por lo que es derivable en casi todas partes. Si $P(Y\ge x)$ no es diferenciable en todas partes, podemos utilizar la función de Riemann-Stieltjes Integral y definir $$ \mathrm{E}(Y)=-\int_0^\infty x\,\mathrm{d}P(Y\ge x) $$

Integración por partes, que es válido para la Riemann-Stieltjes integral, los rendimientos $$ \mathrm{E}(Y)=-\lim_{x\to\infty}x\,P(Y\ge x)+\int_0^\infty P(Y\ge x)\,\mathrm{d}x $$ Sumación por partes da $$ \begin{align} \mathrm{E}(Y) &\ge\sum_{k=0}^\infty2^k\left(P(Y\ge2^k)-P(Y\ge2^{k+1})\right)\\ &=2^0P(Y\ge2^0)+\sum_{k=0}^\infty(2^{k+1}-2^k)P(Y\ge2^{k+1})\\ &=P(Y\ge1)+\sum_{k=0}^\infty2^kP(Y\ge2^{k+1}) \end{align} $$ Puesto que la suma converge, $2^kP(Y\ge2^k)\to0$. Por lo tanto, desde el $P(Y\ge x)$ es monótona no creciente, obtenemos $$ \lim_{x\to\infty}x\,P(Y\ge x)=0 $$ Por lo tanto, $$ \mathrm{E}(Y)=\int_0^\infty P(Y\ge x)\,\mathrm{d}x $$ Para $\mathrm{E}(|X-a|)$, esto se convierte, $$ \begin{align} \mathrm{E}(|X-a|) &=\int_0^\infty P(|X-a|\ge x)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_a^\infty P(X\ge x)\,\mathrm{d}x+\int_{-\infty}^a P(X\le x)\,\mathrm{d}x \end{align} $$

Answer 3

Tenga en cuenta que los integrandos son monótonos. Y por lo tanto (incorrectamente) Riemann integrable.