Reglas para exponencial y logaritmo con argumentos complejos

Question

Comunidad Stackexchange,

Tengo una pregunta sobre las reglas para exponenciales y logaritmos con argumentos complejos.

Para argumentos reales tenemos:

$$e^{a+b}=e^a\cdot e^b$ $$$e^{a-b}=e^{a}/e^{b}$ $$$e^{\ln a}=a$ $$$\ln(a\cdot b)=\ln a + \ln b$ $$$\ln(\frac{a}{b})=\ln a - \ln b$ $$$\ln(e^{a})=a$ $$$\log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$ $

¿Puedo usar estas leyes también para números complejos? Sé que debo ocuparme de la periodicidad y las singularidades.

Answer 1

Para exponencial, funciona igual. Para el logaritmo es un poco diferente. ps

pero$$\ln(ab)=\ln(|a||b|)+i\arg(ab)=\ln(|a|)+\ln(|b|)+i\arg(ab)$ $ por lo tanto$$\arg(ab)\equiv \arg(a)+\arg(b)\pmod {2\pi},$ $ de lo contrario$$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\iff \arg(a)+\arg(b)\in]-\pi,\pi[,$ $ si$$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)+2ik\pi$.

Finalmente, si usa la propiedad que mencioné anteriormente, obtendrá$\arg(a)+\arg(b)\in]-\pi+2k\pi,\pi+2k\pi[$ $

Answer 2

Considere, por ejemplo, la identidad de la primera, $e^{a+b} = e^ae^b$. Para mostrar que esto es válido para todos los números complejos $a$ $b$ el uso que usted sabe que tiene de los números reales $a$$b$, se podría argumentar de la siguiente manera. Supongamos primero que $b$ es real, y vamos a $f(z) = e^{z+b}$$g(z) = e^ze^b$. Estos son dos holomorphic funciones que, de acuerdo siempre a $z$ es real, y por lo tanto, por el principio de continuación analítica $f = g$ en todas partes. Por lo tanto, asumiendo $b$ es real, $e^{z+b} = e^ze^b$ para todos los números complejos $z$. Ahora podemos argumentar como esto una vez más: ahora vamos a $a$ ser cualquier número complejo, y deje $f(w) = e^{a+w}$$g(w) = e^ae^w$. Por el argumento que acaba de hacer, sabemos que $f(w) = g(w)$ siempre $w$ es real, y por lo tanto por la continuación analítica $f = g$ en todas partes. Esto demuestra $e^{a+b} = e^ae^b$ para todos los números complejos $a$$b$.

Utilizando argumentos como estos, usted puede transferir las identidades usted sabe de un caso real para el caso complejo. Como usted dice, sin embargo, cuando se trata con los logaritmos, usted realmente debe ser muy cuidadoso al tomar en cuenta el hecho de que los logaritmos son multi-funciones con valores.