Interacciones de pares en celosía cuadrada finita

Question

Estoy buscando un exacto o aproximado en la solución de un estadístico de celosía de partículas problema:

Dada una red de tamaño $L\times L$ donde $\rho\cdot L^2$ de las partículas se distribuyen al azar, calcular la función de distribución de probabilidad para $M$ se define como el número de interacciones par, es decir, el número de aristas entre los ocupados de las células. Interacciones puede ser horizontal o vertical, y el sistema tiene límites abiertos (es decir, de las partículas en el borde sólo tiene 3 o 2 vecinos para interactuar con).

Mi objetivo final es el diseño de un $H_0$ estadísticas, dan una sola realización de la $L\times L$ celosía, y la estimación de la probabilidad de que ésta no es una aleatorios distribuidos conjunto de partículas.

Answer 1

Ok, algunos dispersar a los pensamientos, lo que puede llegar un poco más cerca de una respuesta...

Empecé a escribir una respuesta larga, de cómo su problema como se dijo está estrechamente relacionada con la distribución hipergeométrica, pero si su entramado es lo suficientemente grande, y la densidad de puntos lo suficientemente pequeño, se puede aproximar a una distribución geométrica , que hace la vida mucho más fácil. Es una diferencia similar a uno de esos probabilidad de problemas de recoger las bolas de una bolsa, sin reemplazo, o con el reemplazo. En el primer caso, usted probablemente tendrá que ser pegado con un enfoque combinatorio del problema, donde se deben considerar cada posible arreglo de las partículas. En el último, usted puede hacer la aproximación de que cualquier entramado punto ha probabilidad de $\rho$ a la celebración de una partícula, makinf las cosas más fáciles.

Yo estaré más que feliz para desarrollarlos, pero si lo único que desea es averiguar si su distribución ha sido generado por un no por azar, me gustaría ir de una manera diferente. Si usted desea dar a su estadística de algunos oficiales de apoyo, usted va a querer leer acerca de Poisson Espacial Punto de los Procesos, aquí es una buena introducción.

Pero desde un punto de vista práctico, me gustaría sugerir el uso de la autocorrelación como la base para su análisis. Usted también puede ir con el espectro de potencia, ya que está estrechamente relacionado con el de autocorrelación a través de la Wiener-Khinchin teorema, pero es más fácil hacer sentido físico de la autocorrelación.

Así que una vez que usted tiene su autocorrelación $C(i,j)$ calculado, el valor en $(i,j)$ es la probabilidad de que exista una partícula a una distancia $(i,j)$ a partir de otra partícula. Si su distribución es totalmente aleatorio, esta probabilidad debe ser una constante igual a $\rho$ (en realidad igual a $\frac{\rho L^2-1}{L^2-1}$, la aproximación geométrica viene muy bien aquí), excepto en $(0,0)$ donde es $1$.

Para venir para arriba con una sola estadística para el conjunto de la distribución, se puede considerar que el valor en $(i,j)$ ha sido generados por mirar en cada partícula, y ver si había otro en la distancia. Esto es equivalente a lanzar una carga de la moneda con los jefes de la probabilidad de $\rho$, $\rho L^2$ veces, contando el número de cabezas, para luego dividir por $\rho L^2$. Lo que se obtiene antes de la última división sigue una distribución binomial con parámetros de $n=\rho L^2$$p=\rho$. Se puede aproximar la distribución binomial con la distribución normal con parámetros de $\mu=np=L^2 \rho^2$$\sigma^2 = np(1-p) = L^2 \rho^2(1-\rho))$. Después de dividir por $\rho L^2$, la distribución todavía será normal, pero con los parámetros de $\mu= \rho$$\sigma^2 = \frac{1-\rho}{L^2}$. Usted puede normalizar esta distribución normal restando a $\mu$ y dividiendo por $\sigma$.

Así que cuando usted se restan $\rho$ de su autocorrelación en todas partes, y luego se divide por $\sqrt{1-\rho}/L$, que ha $\rho L^2 - 1$ valores extraídos de $N(0,1)$ distribuciones. En realidad sólo la mitad de ellos son realmente independiente de los valores, debido a $C(i,j) = C(-i,-j)$. Pero si usted cuadrado de cada una de las $(\rho L^2-1)/2$ valores independientes y, a continuación, agregue todos juntos, el resultado debe ser distribuido como un $\chi^2$ $(\rho L^2-1)/2$ grados de libertad, que debe adaptarse a su prueba de hipótesis necesidades.

Por supuesto, usted quiere asegurarse de que los valores reales de a $\rho$ $L$ permitan hacer el "binomio-como-normal" aproximación.

Answer 2

La solución, que es esencialmente exacto para grandes celosías, es sólo que la función de distribución es una Gaussiana. Este es un universal, resultado de la suma de cualquier localmente la fluctuación de la cantidad. Por ello no es muy útil como un criterio para determinar si una determinada creación de instancias de encendido/apagado sitios al azar.

Me tome un toro, como Jaime sugerido, y además, puedo reemplazar la restricción de una densidad fija con un gran sistema canónico, donde hay una probabilidad p para tener una partícula en cualquier sitio. Esto es equivalente a lo que usted está haciendo para sistemas grandes, y esto es ya esencialmente exacta de un 10 por 10 celosía.

Para calcular la media y la varianza de la cantidad, usted puede usar la función de partición de los métodos. La probabilidad de que un sitio es ocupado es p, y desocupadas, es 1-p, por lo tanto define un giro variable S en cada sitio en el que toma el valor 0 o 1, dependiendo de si el sitio es ocupado o desocupado. Si usted hace el peso de estar desocupado igual a 1, el peso de estar ocupado es $p\over 1-p$, así se puede definir una energía para ser ocupados mediante:

$$ e^J = {p\over 1-p} $$

A continuación, escribir la función de partición

$$ Z = \sum_{S} e^{J_x S_x} $$

Donde $J_x$ es un parámetro local en cada sitio en el que se establece la J al final del día, para reproducir su sistema, y la suma es superior a todas las configuraciones de giros elegido para ser 0 o 1 en cada sitio

Esta función de partición es independiente en cada una de las x (esta es la ventaja de permitir que cada sitio independiente de la probabilidad de ocupación, en lugar de restringir el número total--- es la misma razón por la que la gente utiliza gran canónica de los métodos de la mecánica estadística), por lo que factorizes:

$$ Z = \prod_x (1 + e^J) = \prod_x {1\over 1-p} $$

Su cantidad es

$$ M = \sum_{\langle x,y\rangle} S_x S_y $$

Donde los corchetes significa que suma más de cada vecino más cercano par una vez y sólo una vez, y evaluar esta tomando la expectativa de valor, que es muy simple, debido a que es un sistema independiente:

$$ \langle M \rangle = \sum \langle S_x S_y \rangle = \sum \langle S_x\rangle \langle S_y\rangle = 2L^2 p^2 $$

Esa es la media de M. también Se puede evaluar formalmente el uso de los derivados de la función de partición con respecto a $J_x$, pero la respuesta final es muy simple--- es sólo un sistema independiente, por lo que el número de pares es independiente.

Para encontrar la varianza de M, se resta la media de la M y de la plaza, y el resultado es

$$ \langle M^2 \rangle - \langle M\rangle^2 = ( \sum (S_x - p)(S_y - p) )^2 = \sum_{\langle x,y\rangle} \sum_{\langle x',y'\rangle} (S_x - p)(S_y -p) (S_{x'} - p ) (S_{y'} - p) $$

Y el valor esperado de la cosa en el extremo de la derecha es cero, a menos que el par x,y es el mismo que el par x',y', de lo contrario hay un cero valor esperado.

El resultado de la varianza se

$$ 2L^2 (\langle S_x^2\rangle - \langle S_x\rangle^2)^2 = (p(1-p))^2$$

Donde he utilizado el hecho de que la varianza de la vuelta en un sitio es $p(1-p)$, que es un sencillo cálculo.

La media y la varianza de especificar la distribución Gaussiana de forma única. Esta respuesta es un poco mal, en cuanto que se han fijado límites y un número global de restricción, pero es exacto en el gran límite del sistema.

Esto no funciona para lo que quieres, es decir, para determinar si un montón de puntos al azar. No funciona nada de esto, la verdad, porque la noción de "azar" es demasiado vaga--- se necesita especificar más sobre la alternativa de distribución de probabilidad podría ser, algún conocimiento previo. Si se dan una sola configuración, por todo lo que sabemos, podría haber sido seleccionados a partir de la distribución de probabilidad que es sólo una delta-función en esta configuración.

Pero en la práctica, usted puede usar la función de correlación de las relaciones

$$ \langle S_{x_1} S_{x_2} S_{x_3} ... S_{x_n} \rangle = p^n $$

que debe sostener a errores como el de Gauss anchura de un objeto en el lado izquierdo, lo que le da un buen criterio para independiente aleatoriedad en cada sitio.