¿Cuál es la relación entre Vecindad de un punto, Punto interior y Conjunto abierto?

Question

Quiero saber cuál es la relación entre Vecindad de un punto, Punto interior y Conjunto abierto.

Definición: Un conjunto $N \subset \mathbb{R}$ se llama $\textbf{neighbourhood}$ de un punto a, si existe un intervalo I que contiene a y está contenido en N, es decir , $$a\in I \subset N $$ .

Definición: Un punto x es un punto interior de un conjunto S si S es un nbd de x. En otras palabras, x es un punto interior de S si $\exists $ un intervalo abierto $(a,b)$ que contiene a x y que está contenido en S , es decir $$x\in(a,b)\subseteq S$$ .

Definición: Un conjunto S se dice abierto si es un nbd de cada uno de sus puntos, es decir $x\in S$ existe un intervalo abierto $I_x$ tal que $$mx \in I_x \subseteq S $$ .

Answer 1

Intuitivamente:

• Una vecindad de un punto es un conjunto que rodea ese punto. Es decir, si se aleja una cantidad suficientemente pequeña (pero no nula) de ese punto, no saldrá del conjunto.

• Un punto interior de un conjunto es un punto que está rodeado por el conjunto. Obsérvese que en realidad se trata de la misma relación, sólo ha cambiado el sujeto.

• Un conjunto abierto es aquel que rodea todo sus puntos. Es decir, donde estás en ese conjunto, un movimiento suficientemente pequeño no te sacará.

Answer 2

Definiciones generales:

1. Vecindad: una vecindad de un punto $x$ es un conjunto que contiene algún conjunto abierto que contiene $x$ . Para el caso de la topología estándar de $\Bbb R$ un conjunto abierto en compuesto por la unión arbitraria de intervalos abiertos, y la mínima expresión de un conjunto abierto es un intervalo abierto. Entonces, si un conjunto $S$ contienen algún intervalo abierto $I$ que contienen $x$ entonces $S$ es una vecindad de $x$ es decir

$$x\in I\text{ and } I\subseteq S\iff S\text{ is a neighborhoof of } x $$

(para la topología estándar de $\Bbb R$ )

2. Punto interior: punto interior de un conjunto $S$ es un punto de un conjunto abierto $U$ contenida en $S$ . Para el caso de la topología estándar en $\Bbb R$ porque todo conjunto abierto está compuesto por la unión de intervalos abiertos (que son la mínima expresión de conjuntos abiertos en la topología estándar de $\Bbb R$ ) entonces esto significa que $x$ es un punto interior de $S$ si existe algún intervalo abierto $I$ que contiene $x$ y $I$ está contenida en $S$ es decir

$$x\in I\text{ and }I\subseteq S\iff x\text{ is an interior point of } S$$

(para la topología estándar de $\Bbb R$ )

3. Conjunto abierto: los conjuntos abiertos son la definición de una topología en algún espacio, es decir, la colección de subconjuntos $\mathcal T$ de algún espacio $G$ es una topología de $G$ si y sólo si

   • el conjunto vacío y $G$ pertenece a $\mathcal T$

   • la unión arbitraria de elementos de $\mathcal T$ pertenece a $\mathcal T$

   • la intersección finita de elementos de $\mathcal T$ pertenece a $\mathcal T$

Cualquier elemento de $\mathcal T$ se denomina conjunto abierto. La topología estándar de $\Bbb R$ contiene todos los intervalos abiertos, por lo que también contiene la unión arbitraria de intervalos abiertos, el conjunto vacío, $\Bbb R$ y cualquier intersección finita de todos estos elementos.

Answer 3

Puede ser útil ver un ejemplo sencillo. Dejemos que $S = [0,1]$ . Se trata de una vecindad de cada punto de $(0,1)$ pero no un barrio de $0$ o $1$ . Como no es un barrio de $0$ o $1$ y esos puntos están en $S$ no es un conjunto abierto. El interior de $S$ es $(0,1)$ .

Answer 4

Bien, voy a dar una definición de espacio métrico de análisis.

Preliminar: En primer lugar, debemos considerar a qué "universo" estamos definiendo que pertenecen estos puntos y conjuntos. El PO parece estar asumiendo que este universo es $\mathbb R$ que está bien. Pero podría ser $\mathbb R^k$ también. O podría ser más abstracto y ser simplemente cualquier "espacio métrico". Yo soy no Voy a explicar aquí lo que es un espacio métrico, pero simplemente diré que es un "universo" de puntos en el que se define de alguna manera la distancia entre dos puntos. En $\mathbb R$ la distancia entre $x$ y $y$ es $|x - y|$ . En $\mathbb R^k$ es $||x, y|| = \sqrt{x^2 - y^2}$ . No importa cómo se defina la distancia, sólo que lo sea.

Primero: Si tenemos un punto $x$ necesitamos describir de alguna manera la idea de "un montón de puntos que rodean inmediatamente $x$ en todas las direcciones".

Si nuestro universo es $\mathbb R$ cualquier intervalo $I = (a,b)$ donde $a < x < b$ lo hará. También lo hará $[a,b]$ donde $a < x <b$ . Pero $[x,b]$ o $[x,b)$ no lo hará ya que no incluye ningún punto inmediatamente a la izquierda de $x$ .

En $\mathbb R^2$ para $(x,y)$ puede ser un rectángulo $[a,b] \times [c,d]$ donde $a < x < b$ y $c < y < d$ . o podría ser el disco centrado en $(a,c)$ con radio $r$ st $(a - x)^2+ (c -y)^2 < r^2$ .

O si se trata de cualquier espacio métrico en general, me gusta definir una "bola abierta" como el conjunto $N = $ "todos los puntos", $z$ para que $||x,z|| < d$ a cierta distancia $d$ .

Pero no importa cuál de estos métodos utilicemos para encontrar "un montón de puntos que rodeen inmediatamente $x$ en todas las direcciones". Cualquiera de ellos servirá

Como el OP quiere usar un intervalo, lo haremos. Pero tiene que ser un intervalo abierto. $x \in [x, b]$ simplemente no servirá ya que no incluye ningún punto inmediatamente a la izquierda de $x$ .

.....

¡Bien, ahora podemos empezar!

A barrio de $x$ es cualquier conjunto que contenga ""un montón de puntos que rodean inmediatamente $x$ en todas las direcciones".

En otras palabras: Definición : Un conjunto $S$ es un barrio de $x$ si hay un intervalo abierto $I_x$ tal que $x \in I_x$ (en otras palabras, que $I_x = (a,b)$ y $a < x < b$ ) y $I_x \subset S$ .

En realidad, no cambiaría mucho las cosas definir que un nieghborhood es un intervalo abierto. No perjudicaría las cosas, pero tampoco las ayudaría. Personalmente muy acostumbrados a definir un barrio como ser una "bola abierta" como la que he descrito anteriormente. (En $\mathbb R$ un balón abierto es exactamente lo mismo que el intervalo abierto $(x - d, x + d)$ ).

Pero utilizaremos el criterio de intervalo abierto como definición.

Así pues, .... un barrio es cualquier conjunto alrededor de x que contiene puntos que "rodean completamente" x es decir, un conjunto que contiene un intervalo abierto que contiene x.

Ahora los puntos interiores: Un interior punto de un conjunto $S$ es un punto en $S$ que está completamente rodeado de puntos de $S$ . Si por ejemplo $S = [a,b]$ entonces si $a < x < b$ entonces $x$ está "justo en el centro" y absolutamente rodeado de puntos de $S$ . Pero los dos puntos $a$ y $b$ no lo son. Todos los puntos excepto $a$ y $b$ son puntos interiores de $S$ .

Definición : Un punto $x \in S$ es un punto interior de $S$ es una vecindad de $x$ . En otras palabras $x \in S$ es un punto interior de $S$ si existe un intervalo abierto $I_x$ para que $x \in I_x \subset S$ .

Definición : Un conjunto $S$ es Abrir si cada punto de $S$ es un punto interior de $S$ . En otras palabras, para todo $x \in S$ existen intervalos abiertos (quizás muy pequeños) tales que $x \in I_x \subset S$ .

Ejemplo: considere $S = (-\infty, 3] \cup (5, 7]$ . $S$ no está abierto porque $3$ y $7$ no son puntos interiores. No hay $(a,b)$ para que $a < 3 < b$ y $(a,b) \subset S$ . Lo mismo para $7$ .

Pero todos los demás puntos son interiores. Si $x < 3$ entonces $(x-1, 3) \subset S$ así que $x$ es el punto interior. Si $5 < y < 7$ entonces $(5,7)\subset S$ así que $y$ es un punto interior.

Así que $W = (-\infty, 3) \cup (5,7)$ estaría abierto.

...

Así que la relación...

Una vecindad de un punto rodea al punto por completo (pero quizá sólo por una distancia muy pequeña).

Un punto interior de un conjunto es un punto del conjunto que está completamente rodeado por éste.

Un conjunto es abierto si cada punto del conjunto está completamente rodeado por otros puntos del conjunto. (En otras palabras, ningún punto está en el "borde" del conjunto donde "justo al lado" el conjunto "termina").