¿Todas las secciones cónicas vienen con una aritmética natural?

Question

Yo estaba buscando para clasificar no trivial, conmutativa, asociativa, de las estructuras de grupo en $\mathbb{R}$ (menos de un contable número de punto) a partir de los triviales

$$ (\mathbb{R} , + )$$ $$ (\mathbb{R} - \lbrace 0 \rbrace, \times) $$ y luego vino a través de la siguiente operación

$$ \mu (a,b ) = a + b + ab $$

$\mu$ es conmutativa, asociativa, tiene identidad $0$, y cada elemento es invertible con $a^{-1_\mu} = - \frac{a}{1+a}$

$$ (\mathbb{R} - \lbrace -1 \rbrace , \mu) $$

A continuación, también se forma un grupo.

Entonces me di cuenta de la siguiente extraña observación:

$$ x +y = 0 $$ $$ xy = 1$$ $$ x + y + xy = 0$$

De todas forma hipérbolas (el primero es un caso de degeneración) cuando graficados como las relaciones implícitas.

Y eso me pregunto, ¿cada hipérbola están equipadas con un natural de la aritmética (y dado que todas las elipses son complejos hipérbolas) hacer todos los no-parabólico secciones cónicas están equipadas con un natural de la aritmética?

Answer 1

Hay naturales geométricas grupo de leyes (proyectiva) cónicos y cúbicas (bono adicional es que la operación se conserva la subconjuntos de puntos racionales sobre ellos, y es la restricción a aquellos que son los más comúnmente estudiados). Para cónicos arreglar cualquier punto de $O$ (elemento neutro) y dados dos puntos $A$, $B$ en la cónica dibujar una línea paralela a $AB$ a través de $O$. En el plano proyectivo se tendrá exactamente el otro punto de intersección de las cónicas, que se define como la suma. Para hipérbolas la operación conserva el subconjunto de puntos reales (incluyendo al infinito, que puede también ser hecho en $O$). Además en los cónicos se discute en Lemmermeyer del Cónicos - un Pobre Hombre de Curvas Elípticas.

El específico de la expresión algebraica para la operación es altamente indeterminado, sin embargo. Da un poco de auto-bijection $f$ $\mathbb{R}$ usted puede obtener una nueva adición simplemente por medio de $a\oplus b=f(f^{-1}(a)+f^{-1}(b))$, y del mismo modo con la multiplicación, con la excepción de $f$ no necesitan ser definidas en $0$. Un (parte real) hipérbola puede ser asignada bijectively en $\mathbb{R} - \textrm{pt}$. Usted puede jugar con las opciones de $O$ y un mapa (proyección a uno de los ejes, por ejemplo) que convierte geométricas, además de la hipérbola en su fórmula específica. Sin embargo, su multiplicación ejemplos no será uniforme con la adición de uno, porque $x+y=0$ no es una hipérbola, o incluso una cónica. Por supuesto, uno puede trivialmente definir geométricas, además de una línea demasiado escogiendo el origen $O$ y el empalme de los segmentos en consecuencia, y de mapa en el estándar en $\mathbb{R}$ por la escala de la proyección.