¿La función está definida por$f(x+1)=f(x)+f(1), f(2)=1$ solo$f(x)=\frac{x}{2}$?

Question

Es la función definida por $f(x+1)=f(x)+f(1), f(2)=1$$f(x)=\frac{x}{2}$?

Yo era la solución de este ejercicio: Una función de $f$ de variable real satisface $f(x+1)=f(x)+f(1), f(2)=1$ cualquier $x$. Determinar el $f(5)$.

Bueno, ya $f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)$,$f(1)=\frac{1}{2}$.

$f(3)=3f(1)$ ,$f(4)=4f(1)$, $f(5)=5f(1)=\frac{5}{2}$

Entonces me comenzaron a preguntarse si la función se acaba de $f(x)=\frac{x}{2}$. Para los naturales y los enteros puedo demostrar por inducción, ya que: $f(1)=\frac{1}{2}$, asumiendo $f(k)=\frac{k}{2}$,$f(k+1)=f(k)+\frac{1}{2}=\frac{k}{2}+\frac{1}{2}=\frac{k+1}{2}$.

Desde $f(-1)=-f(1)$, de la siguiente manera similar a los números enteros.

Pero puedo probar a los no enteros, reales? Yo no sé cómo...

Answer 1

La respuesta es negativa.

Por ejemplo, cualquier mapa$$f_{\alpha,k}(x) = x/2 +\alpha \sin(2k\pi x)$ $

donde$\alpha$ es real y$k$ un entero haría el trabajo.

En general, un mapa$f(x)=x/2+ g(x)$ donde$g$ es cualquier mapa periódico con un período igual a$1$ y$g(0)=0$ cumple con los requisitos iniciales.