¿Cuántos enteros positivos de 1-1000 tienen 5 divisores?

Question

¿Cuántos enteros positivos de 1-1000 tienen 5 divisores?

Cualquier respuesta sería muy apreciada, gracias. Si tiene alguna pregunta, la editaré para aclararla.

Answer 1

Insinuación:

Si un entero$n$ tiene una descomposición como producto de distintas potencias distintas:$$n=\prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i},$ $ la cantidad de divisores de$n$ igual a$\:\displaystyle\prod_{i=1}^r(\alpha_i+1)$.

Si este producto es igual a$5$, ¿qué puede concluir?

Answer 2

(Llenado en algunos detalles, en la posibilidad de que otras respuestas son familiares para los potenciales lectores!)

Considerar la descomposición en factores primos de a $75 = 3^1 \cdot 5^2$. Cómo muchos factores no $75$? Así, en la formación de un factor de $75$, tenemos que elegir cuántas $3$s para incluir - hay uno disponible, pero también podemos elegir ninguno; por lo tanto, el número de opciones es $1+1=2$ - y cuántas $5$s para incluir - hay dos disponibles, pero también podemos elegir ninguno; por lo tanto, el número de opciones es $2+1=3$. La mencionada $2$ opciones y $3$ opciones de rendimiento $2 \cdot 3 = 6$ el uso de combinaciones de los factores primos, y todos estos son los factores de $75$:

$$3^0 \cdot 5^0, 3^0 \cdot 5^1, 3^0 \cdot 5^2, 3^1 \cdot 5^0, 3^1 \cdot 5^1, 3^1 \cdot 5^2$$

Más en general, un número con la descomposición en factores primos $p^a \cdot q^b$ para distintos números primos $p$ $q$ $(a+1)(b+1)$ factores, ya que se pueden formar estos factores, haciendo uno de $a+1$ opciones para cuántas $p$s de incluir (que van desde la $0$ todos los $a$) y uno de $b+1$ opciones para cuántas $q$s para incluir (que van desde la $0$ todos los $b$). De manera más general, se llega a la fórmula de Bernard's respuesta.

Así: En la investigación de $5$, queda claro que esto puede surgir como el número de factores si, y sólo si, se trataba de un número de la forma $p^4$ primer $p$. Todo lo que queda ahora es observar cómo muchos de los números primos a la cuarta potencia están presentes entre el$1$$1000$; esto es precisamente lo que se hace en Mohammad Riazi-Kermani's respuesta: solo $2^4 = 16$, $3^4 = 81$, y $5^4 = 625$. Ya tenemos $6^4 = 1296 > 1000$, por lo que los tres números son exhaustivos.

Como un seguimiento de ejercicios, usted puede desear para contar la cantidad de factores de $4^4$ $6^4$ tienen.

(Que supongo que tiene más? Etc.)

Answer 3

La única forma en que un número tiene exactamente$5$ divisores positivos es que el número sea una cuarta potencia de un número primo. Por lo tanto, la respuesta es 3. Los números son$$ 2^4,3^4,5^4$ $