Supongamos que tenemos un enrejado $\mathbb{Z}^d$ y un subgrupo $\Gamma$ $\operatorname{SL}_d (\mathbb{Z})$ actuando sobre él. Suponiendo que la acción en $\mathbb{R}^d$ es irreducible, ¿esto nos dice algo sobre los invariantes sub-enrejados $\mathbb{Z}^d$? ¿En particular, son todos de la forma $k\mathbb{Z}^d$ $k$ de números enteros?
Respuesta
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Matt Dawdy
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Irreductibilidad implica que el cero invariante sublattices tiene rango completo (desde tensoring con $\mathbb{R}$ da a todos los de $\mathbb{R}^d$), pero creo que no se puede concluir más que eso.
Aquí es un método para la construcción de contraejemplos. Deje $K$ ser una ecuación cuadrática campo de número. Cualquier algebraicas entero $\alpha \in \mathcal{O}_K \cong \mathbb{Z}^2$ hechos por la multiplicación por $\mathcal{O}_K$ en una manera que preserve la sublattices de $\mathcal{O}_K$ dado por cualquier ideal $(\beta) = \beta \mathcal{O}_K$, que no son múltiplos enteros de $\mathcal{O}_K$ mientras $\beta$ no es una unidad de veces un número entero. El determinante de a $\alpha$ es la norma $N(\alpha) = \alpha \overline{\alpha}$, lo $\alpha$ se encuentra en $SL_2(\mathbb{Z})$ fib $N(\alpha) = 1$.
La pregunta que queda es cuando el subgrupo de $SL_2$ generado por la multiplicación por $\alpha$ actos irreducible en $\mathcal{O}_K \otimes \mathbb{R}$. Si $K$ es un imaginario cuadrática de campo, a continuación, $\mathcal{O}_K \otimes \mathbb{R} \cong \mathbb{C}$ y cualquier $\alpha \in \mathcal{O}_K$ que no es real, o, equivalentemente, no es un entero, genera $K \cong \mathcal{O}_K \otimes \mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$- álgebra y, por tanto, genera $\mathcal{O}_K \otimes \mathbb{R}$ $\mathbb{R}$- álgebra; en consecuencia, la acción es irreducible en este caso.
Así, la forma más sencilla contraejemplo es $K = \mathbb{Q}(i), \alpha = i$; la multiplicación por $\alpha$ $\mathbb{Z}[i]$ genera una copia de $C_4$ que actúa sobre la $\mathbb{R}[i] \cong \mathbb{C}$ irreducible, y cada sublattice de la forma $(\beta) = \beta \mathbb{Z}[i], \beta \in \mathbb{Z}[i]$ es invariante. La mayoría de estos sublattices no son múltiplos de $\mathbb{Z}[i]$, por ejemplo si $\beta = 1 + i$. Podemos encontrar ejemplos similares donde $\alpha$ tiene orden infinito.
