Vector propio, valor propio y matriz de $(\mathbf A+\mathbf I)^{-1}$ donde $\mathbf A=\mathbf{vv}^\top$

Question

Dado $\mathbf v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}$ y $\mathbf A=\mathbf{vv}^\top$ , hallar la matriz $(\mathbf A+\mathbf I)^{-1}$ y sus vectores y valores propios.

Este es un seguimiento de las preguntas del anterior un .

El ejemplo anterior nos dice $\mathbf A+\mathbf I$ tiene un valor propio $\lambda_1=(\|\mathbf v\|^2+1)$ con el correspondiente vector propio $\mathbf v_1=\mathbf v$ . Y el valor propio $1$ con multiplicidad $n-1$ .

También sabemos que si una matriz $\mathbf B$ tiene un vector propio $\mathbf v$ y el valor propio $\lambda$ entonces la matriz inversa $\mathbf B^{-1}$ tendrá el mismo vector propio $\mathbf v$ y el valor propio $\frac1\lambda$ .

Basándonos en los conocimientos anteriores, podemos obtener fácilmente el valor propio de $(\mathbf A+\mathbf I)^{-1}$ será $1$ con la multiplicidad $n-1$ y $\frac1{(\|\mathbf v\|^2+1)}$ . Comparten los mismos vectores propios.

Ahora, quiero saber cómo la matriz $(\mathbf A+\mathbf I)^{-1}$ con un polinomio mínimo. Supongo que puedo utilizar las mismas técnicas aquí .

En primer lugar, averiguo el polinomio característico de $(\mathbf A+\mathbf I)$ .

$f(\lambda)=(\lambda-1)^{n-1}(\lambda-1-\|\mathbf v\|^2)$

Entonces sabemos que el posible candidato a polinomio mínimo será $(\lambda-1)^{k}(\lambda-1-\|\mathbf v\|^2)$ donde $k \ge 1$ .

¿Cómo puedo saber el $k$ para el polinomio mínimo de aquí?

¿Es el polinomio mínimo un buen punto de partida para encontrar la inversa de la matriz?

Answer 1

Esta es una derivación estándar:

Supongamos que $(I + u v^T)x = y$ entonces $x + u v^T x = y$ . Podemos obtener una expresión explícita para $v^T x$ en términos de $y$ premultiplicando por $v^T$ para conseguir $v^T x + v^T u v^T x = v^T y$ y así $v^T x = {v^T y \over 1+v^T u}$ . Por lo tanto, $x = (I - {u v^T \over 1 + v^T u})y$ y así $(I + u v^T)^{-1} = I - {u v^T \over 1 + v^T u}$ .

En el caso anterior, esto se reduce a $I - {v v^T \over 1 + \|v\|^2}$ .

Si uno toma $x \bot v$ vemos que $(I + v v^T)x = x$ por lo que la matriz tiene $n-1$ valores propios en $1$ y como $(I + v v^T)v = (1+\|v\|^2) v$ vemos que hay un valor propio en $1+ \|v\|^2$ .

Answer 2

Primero para encontrar la matriz inversa pasamos por las siguientes igualdades: $$vv^t=vv^t({{1+v^tv}\over{1+v^tv}})=vv^t({{1}\over{1+v^tv}}+{{v^tv}\over{1+v^tv}})={{vv^t}\over{1+v^tv}}+{{v(v^tv)v^t}\over{1+v^tv}}$$ así que $$I+vv^t-{{vv^t}\over{1+v^tv}}-{{v(v^tv)v^t}\over{1+v^tv}}=I$$ donde $I$ indica en la matriz de identidad. Al factorizar tenemos: $$(I+vv^t)(I-{{vv^t}\over{1+v^tv}})=I$$ o de forma equivalente: $$(I+vv^t)^{-1}=I-{1\over{1+v^tv}}{vv^t}$$ Ahora, observe que, según el teorema de la nulidad, podemos dividir $\Bbb R^n$ a dos subconjuntos: $$A={\lbrace{w:v^tw=0}\rbrace},B={\lbrace{w:w=av}\rbrace}\to\Bbb R^n=A\cup B$$ Para $w\in A$ tenemos $$v^tw=0\to{(I-{1\over{1+v^tv}}{vv^t})w=w-{1\over{1+v^tv}}{vv^t}w=w}\to\lambda=1$$ y para los de B $$w=av\to{(I-{1\over{1+v^tv}}{vv^t})w=av-{1\over{1+v^tv}}{vv^t}av}=av({1-{{v^tv}\over{1+v^tv}}})={1\over{1+v^tv}}av\to\lambda={1\over{1+v^tv}}$$ Entonces los valores propios son $\lambda=1$ y $\lambda={1\over{1+v^tv}}$ y los vectores propios son todos $v\in\Bbb R^n$