Algo curioso sobre las lagunas primeras y $p-q =999999999999182774421592902$

Question

Que viene a través de la post Primera 100s lugar sin un primer, fui al enlace informativo "Primera aparición el primer lagunas" sugerido por Jack D'Aurizio. La lista principal de $999$ primer $p$ cubre el menor $p$ para cada uno , incluso brecha $\leq1998$.

I. Pero me di cuenta de algo un poco extraño. Deje $p,q$ se prepara en la lista.

Ejemplo 1. Dado $p,q$ de manera tal que el siguiente primo es $p+1886$$q+1902$,

$$p=4521777371028957272039263763\\q=3521777371029774497617670861\\p-q =999999999999182774421592902$$

Ejemplo 2. Dado $p,q$ de manera tal que el siguiente primo es $p+1896$$q+1968$,

$$p=17817006514740891827868262213 \\q=16817006514738017659250207459 \\p-q =1000000000002874168618054754$$

Ejemplo 3. Dado $p,q$ de manera tal que el siguiente primo es $p+1774$$q+1818$,

$$p=161023337028376633976274427 \\q=361023337029228675738125911\\|p-q| =200000000000852041761851484$$

y así sucesivamente. Dadas dos al azar de los números primos $p_1,p_2$ de aproximadamente el mismo tamaño, pero no en la lista, ¿cuáles son las probabilidades de que su diferencia será similar a los ejemplos anteriores? Pero $p,q$ son NO aleatorios: son el más pequeño de los números primos de dos lagunas.

Un buen montón de la $999$ de los números primos en la lista pueden ser vinculados de tal manera, si son de aproximadamente el mismo tamaño. He elegido el más espectacular.

P1: ¿Cuál es la razón para tal comportamiento, los ceros y los nueves?

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II. Algunos de los números primos en la lista no es necesario una diferencia, los ceros en el primer.

$$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Gap} & \hskip0.9in \text{Prime}\\ \hline 1832 & {7500230000000254312587886349}\\ 1836 & {7500230000004410741095419811}\\ 1838 & 7051230000020674054592576303\\ 1846 & {7500230000005824418875087691}\\ 1848 & 2644230000031218882264673171\\ 1856 & 5851230000021967795781669357\\ 1882 & 8511230000017373935165665319\\ 1884 & 5844230000028765302725127593\\ 1888 & {7500230000005019060037933673}\\ 1920 & 2844230000030892453360363713\\ 1944 & 3044230000030128405583745033\\ 1980 & 8051230000019922137852468729\\ 1982 & {7500230000011523034496281371}\\ 1996 & 85982514713000000005643994785767\\ \hline\end{array}$$

P2: ¿Cuál es la razón para que así?

Answer 1

Como señala Daniel Fischer, el fenómeno es más probablemente un artefacto (y en dos formas). En primer lugar, desde donde la gente miraba para el primer lagunas. Segundo, parece también un artefacto de mi método de búsqueda. Por ejemplo, he encontrado

$$p−q=999999999999182774421592902\tag1$$

dejando de Mathematica mirar alrededor de 120 $28$-números de dos dígitos en la lista. Con $n=120$, $n(n+1)/2 = 7260$ pares. Pues resulta que el 120 $p,q$ había "pre-determinado" parámetros, la búsqueda fue obligado a encontrar las relaciones como la de arriba.

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Por un azar de la lista, he utilizado dígitos consecutivos de $\pi-3$ 120 $18$dígitos bloques de $B_n$,

$$141592653589793238,\\ 462643383279502884,\\ 197169399375105820,\\ \vdots$$

y Mathematica encontrado,

$$B_{99} =601653466804988627\\ B_{104} =984896084128488626\\ |B_{99}-B_{104}| = 3832426173234\color{blue}{99999}$$

y,

$$B_{49} =752886587533208381\\ B_{64} =727855889075098381\\ B_{49}-B_{64} = 2503069845811\color{blue}{0000}$$

No es tan impresionante como $(1)$, pero que $p,q$ tenía la ventaja de una relacionada con el punto de partida.