Actualmente estoy trabajando mi camino a través de las bases de anillo de teoría (Dummit & Foote), y estoy un poco confundido sobre cómo pensar acerca de la noción de un set de generación de energía para un anillo.
Para un grupo de $(\mathcal{G},+,-,0)$ la idea es clara; un subconjunto $G\subseteq\mathcal{G}$ es un grupo electrógeno $\mathcal{G}$ fib cada elemento de a $\mathcal{G}$ puede ser expresado como un número finito de la composición de los miembros de $G$ bajo la suma y la negación.
Esta noción todavía existe canónicamente en un anillo de $(\mathcal{R},+,-,\times,0,1)$, sin embargo parece ser que es posible que desee considerar una segunda noción, así que se aprovecha la existencia de la multiplicación cuando se trata de simplificar la estructura de un anillo. Específicamente, parece que podemos definir un grupo electrógeno $\mathcal{R}$ como un subconjunto $R\subseteq\mathcal{R}$ de manera tal que cada elemento de a $\mathcal{R}$ puede ser expresado como un número finito de la composición de los miembros de $R$ bajo la suma, la multiplicación y la negación. Mi pregunta es la siguiente:
Es la última definición de un set de generación de energía para un anillo muy conocido, y si es así, donde puedo encontrar algo de literatura?
En general, la segunda definición de los rendimientos de un conjunto más pequeño en orden tipo o a veces de cardinalidad, y parece que todavía debe contener mucha de la información que nos importa para la generación de conjuntos. Esto es más fácil de ver cuando se considera un ejemplo:
Deje $n$ ser un número natural, y considerar el anillo de Grothendieck del límite ordinal $\omega^{\omega^n}$ natural bajo la adición y la multiplicación, que se denota $\mathfrak{G}(\omega^{\omega^n})$, como se ha construido aquí [si establecemos $n=0$ obtenemos $\mathfrak{G}(\omega)=\mathbb{Z}$]. Entonces $$G=\{\omega^\beta\}_{\beta<\omega^n}$$ is a countable generating set for $\mathfrak{G}(\omega^{\omega^n})$ if we only use the group operations $+$ and $-$, however $$R=\{1\}\cup\{\omega^{\omega^\beta}\}_{\beta<n}$$ is a finite generating set for $\mathfrak{G}(\omega^{\omega^n})$ if we allow the usage of $\times$. In the simplest non-trivial case where $n=1$, we have $$G=\{\omega^m\}_{m<\omega},$$ $$R=\{1,\omega\}$$ as the generating sets for $\mathfrak{G}(\omega^\omega)$. When $n=2$ we have $$G=\{\omega^m\}_{m<\omega^2},$$ $$R=\{1,\omega,\omega^\omega\},$$ etc. In each situation it seems that $R$ is much simpler than $G$ and obviously recaptures its members under multiplication, since $$\omega^n\times\omega^m=\omega^{n+m},$$ $$\omega^{m\omega}\times\omega^{n\omega}=\omega^{n\omega+m\omega}=\omega^{(n+m)\omega},$$ y, en general, las expresiones algebraicas factor en la espera de la moda. Esto parece implicar que, en tanto sabemos que tenemos acceso a una estructura multiplicativa para trabajar, el segundo concepto de generación del sistema es más fácil de trabajar que la primera.
