Que $A$ ser una matriz de #% % real #% tal que $4\times4$. ¿Puede ser ortogonal $A^2+A+I = 0$?

Question

Estoy luchando por el tercer punto de este ejercicio:

Deje $A$ $4 \times 4$ matriz tal que $A^2 + A + I=0$. Son estas declaraciones verdadero o falso?

1. $A$ es invertible
2. $A$ puede sesgar-simétrica
3. $A$ pueden ser ortogonales

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

$A^2 + A = -I \Rightarrow det(A^2+A)=det(A) \cdot det(A+I) = 1$ por lo tanto $det(A) \neq 0$ por lo que el primer enunciado es verdadero.

Para el segundo me di cuenta de que $-1$ es un autovalor de a $A^2+A$ y su multiplicidad geométrica es$4$, por lo que también la multiplicidad algebraica es $4$. Por lo tanto $-1$ es el único autovalor de a $A^2+A$. Ahora vamos a $\lambda$ ser un autovalor de a $A$ $v \neq 0$ $\lambda$- vector propio:
$$(A^2+A)v = A^2v+Av=\lambda^2v+\lambda v = (\lambda^2 +\lambda)v$$ por lo tanto $\lambda^2+\lambda$ es un autovalor de a$A^2+A$$\lambda^2+\lambda=-1 \Rightarrow \lambda = -\displaystyle\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt3}{2}i $. Desde skew-matrices simétricas sólo tiene autovalores imaginarios puros de la segunda afirmación es falsa.

Para el tercer punto, que he visto que $det(A) = \left(-\displaystyle\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}i\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}i\right) = 1$ y también que $\mid\lambda\mid = 1$, con lo que creo que la tercera es cierto, pero no puedo encontrar un ejemplo de una matriz ortogonal.

Me estoy perdiendo algo? He hecho algún error en mi razonamiento? Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Sugerencia: una representación de matriz real $2 \times 2$ $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ sería $$\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}. $ Comprobar que esta matriz satisface $A^2 + A + I = 0$ y es ortogonal. ¿Ahora, puedes pensar en una manera de usar esto para crear un ejemplo de $4 \times 4$?

Answer 2

Necesita solamente encontrar un ejemplo de $2 \times 2$, decir $B$ y luego crear $A= \operatorname{diag}(B,B)$.

¿Cuáles son los valores propios de $\begin{bmatrix} -\cos t & -\sin t \\ \sin t & -\cos t \end{bmatrix}$?

Answer 3

Observación que $x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)$ ahí tienes la igualdad $$ A ^ 3 = I_n $$ supongo que satisface a $A$ $^{t}AA=A^{t}A$ entonces es ortogonal porque $^{t}AA$ es simétrico $$ \left (^ {t} AA\right) ^ 3 = I \Leftrightarrow PD ^ 3 P ^ {-1} = I = PP ^ {-1} $$ donde $D$ es diagonalizable por lo tanto $$ D ^ 3 = I \text {así} D = I $$ por lo tanto $$ ^ {t} AA = I $$ puede debe ayudarle (nada dice que dicha matriz existe).

Answer 4

Obviamente $A(-A-I)=-A^2-A=I$ por lo tanto $A^{-1}=-A-I$ $A$ es invertible.

Para ser sesgar simétrica debemos tener $A^t=-A$, entonces:

$$A^{-1}=-A-I\to (A^{-1})^t=(A^{t})^{-1}=-A^t-I\to -A^{-1}=-I+A$$

sumando las dos ecuaciones, llegamos a

$$A^{-1}-A^{-1}=(-I-A)+(-I+A)\to 2I=0$$ lo cual es una contradicción. A continuación, $A$ no se pueden sesgar simétrica.

Para ortogonalidad tenga en cuenta que $AA^t=I$ o $A^t=A^{-1}$. a continuación, mediante la sustitución de nosotros obtener:

$$A^t=-A-I$$

También si $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ $A^t=[a_{ji}]_{n\times n}$ y si dos matrices son iguales, por lo que son sus pares de entradas que nos lleva a:

si $i\ne j$ $a_{ji}=-a_{ij}$ e si $i=j$$a_{ii}=-1-a_{ii}\to a_{ii}={-1\over 2}$, por lo que para la ortogonalidad de la matriz se debe sesgar simétrica que es una contradicción. Por lo que la matriz no puede ser ni sesgar simétrica ni ortogonales.