¿El functor de olvido de $\mathbf{TopGrp}$ a $\mathbf{Top}$ ¿admite un adjunto a la izquierda?

Question

Dejemos que TopGrp sea la categoría de grupos topológicos (no necesariamente $T_0$ ) y Top la categoría de espacios topológicos. ¿El funtor de olvido $U:\mathbf{TopGrp}\to\mathbf{Top}$ ¿admite un adjunto a la izquierda?

Para ser concretos, dado un espacio topológico arbitrario $X$ mi pregunta es que, ¿podemos encontrar un grupo topológico $\Gamma X$ y un mapa continuo $\iota:X\to\Gamma X$ tal que, para cualquier grupo topológico $G$ y cualquier mapa continuo $f:X\to G$ existe un único homomorfismo de grupo continuo $f^\prime:\Gamma X\to G$ Satisfaciendo a $f=f^\prime\circ\iota$ ?

Answer 1

Dejemos que $\mathcal{F}$ sea un conjunto de mapas continuos de $X$ tal que $cod(f)$ es un grupo topológico para cada $f \mathcal{F}$ y todo mapa continuo de $X$ a un grupo topológico factores pensó algún mapa de $\mathcal{F}$ . Dicho conjunto existe ya que basta con considerar los mapas cuyas imágenes generan el grupo codominio, por lo que sus cardinalidades están acotadas. Consideremos $i: X \to _{f \mathcal{F}} cod(f)$ definido como $i(x)(f) = f(x)$ .

Claramente, $_{f \mathcal{F}} cod(f)$ es un grupo topológico y $_f \circ i$ es continua para cada $f \mathcal{F}$ Así que $i$ es continua.

Todos los continuos $g: X \to G$ factores a través de algunos $f \mathcal{F}$ y para $g'$ definido como $g'() = _f() = (f): X \to cod(f) G$ tenemos $g'(i(x)) = i(x)(f) = f(x) = g(x)$ . Claramente, $g'$ es un homorfismo continuo.

Basta con considerar el subgrupo de $_{f \mathcal{F}} cod(f)$ generado por $i[X]$ sobre la cual tenemos también la unicidad de la extensión.

También podemos observar que $i$ es siempre inyectiva y es una incrustación topológica si $X$ es completamente regular.

Answer 2

Si $\mathcal{C}$ es una categoría cerrada cartesiana cocompleta, entonces el functor de olvido $\mathsf{Grp}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}$ tiene un adjunto izquierdo. Más generalmente, si $\tau$ es cualquier tipo de estructuras algebraicas, el functor de olvido $\mathsf{Alg}_{\tau}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}$ tiene un adjunto izquierdo. Esto es también lo que goblin mencionado en los comentarios. (Este resultado debería ser conocido, pero ahora mismo no tengo ninguna referencia al respecto).

Desgraciadamente, $\mathsf{Top}$ no es cartesiano cerrado. Pero la categoría de espacios Hausdorff débiles generados de forma compacta $\mathsf{CGWH}$ es cartesiano cerrado y es (en contraste con $\mathsf{Top}$ ) a categoría conveniente de los espacios topológicos. De ello se desprende que $\mathsf{Grp}(\mathsf{CGWH}) \to \mathsf{CGWH}$ tiene un adjunto izquierdo. También, $\mathsf{Grp}(\mathsf{CGWH})$ es completa y cocompleta.