Biyectiva que %#% la prueba #%, o realmente $8+1=9$

Question

Catalán de la conjetura de los estados que $8$ $9$ son la única consecutivos poderes. Esto me sugiere que la identidad de $3^2-1=2^3$ podría ser puramente "accidental". Así que aquí está el reto: hay alguna naturales bijection entre un conjunto de $3^2-1$ cosas y un conjunto de $2^3$ cosas?

Como ejemplos de lo que estoy buscando, aquí hay algunas estructuras que no parecen funcionar:

• El campo $\mathbb F_9$ $3^2-1$ cero elementos. Ellos forman un grupo isomorfo a $\mathbb Z/8\mathbb Z$. Si este grupo se isomorfo a $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^3$ en cambio, sería una buena respuesta.
• Los gluones, que llevan la fuerza entre el $SU(3)$de partículas cargadas, vienen en $3^2-1$ colores. No sé cómo, al ver que no se $2^3$ de ellos.

Hay un mejor ejemplo, a lo largo de las mismas líneas, que los testigos $3^2-1=2^3$ o $2^3+1=3^2$?

Answer 1

Quiero argumentar que $\mathbb{F}_9$ puede ser en realidad una respuesta a esta pregunta. Sólo tenemos que ver el por qué de su grupo de la unidad tiene orden de $8 = 2^3$ sin calcular el tamaño de la unidad de grupo como $9 - 1$.

En primer lugar, $\mathbb{F}_9$ tiene una unidad de $-1$ orden $2$. Por lo tanto el tamaño de la unidad del grupo es, al menos, incluso. La próxima vamos a tratar de tomar su raíz cuadrada: se observa que el $\mathbb{F}_9 \cong \mathbb{F}_3[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{F}_3[i]$ porque $x^2 + 1$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_3$. De ello se desprende que $\mathbb{F}_9$ tiene una unidad de la orden de $4 = 2^2$ ($2$ para el orden de $-1$ e una $2$ tratando de tomar su raíz cuadrada), es decir,$i$. Para la exhibición de una unidad de la orden de $8$ necesitamos encontrar una raíz cuadrada de $i$. Así que calcular:

$$(a + bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2ab i = i.$$

Si establecemos $a = 1, b = -1$$a^2 - b^2 = 0$$2ab = 1$, por lo que llegamos a la conclusión de que $1 - i$ es una raíz cuadrada de $i$ y, por tanto, es una unidad de la orden de $8$ como se desee.

En términos extraños estamos exhibiendo el grupo de la unidad como un iterado extensión de $3$ copias de $C_2$ (en general, cualquier finito $p$-grupo de orden $p^n$ es un iterado central de extensión de $n$ copias de $C_p$). Esto es aún bijective en la medida en que una extensión de $H$ $N$ tiene el mismo orden de $|H| |N|$ como el trivial extensión de $H \times N$.

Answer 2

No estoy seguro de si esto es una respuesta aceptable (se podría argumentar que esto demuestra $3^2 - 1 = 2^2 + 2^2$ lugar):

Para un 3 x 3 cuadrados de la cuadrícula con el centro quitado, necesitamos 3 bits para describir de forma única cualquiera de los restantes puntos:

El primer bit es 1 si el punto está en una esquina, 0 si en un punto medio.

Si en una esquina, el segundo bit elige entre la izquierda y la derecha, tercer bit escoge entre la parte superior y el borde inferior.

Si en un punto medio, el segundo bit se elige entre tocar la esquina superior derecha o tocar la esquina inferior izquierda. El tercer bit elige entre tocar la esquina superior izquierda o tocar la esquina inferior derecha.

Por lo tanto, por un lado tenemos a $3^2 - 1$ puntos, en el otro lado tenemos a $2^3$ formas de describir los puntos.