¿Cuáles son las aplicaciones de secuencia de funciones?

Question

Este podría ser un "tonto" de la pregunta, pero antes de comenzar mis estudios, necesito una motivación.

En el Análisis de los libros, no son los temas tales como "la secuencia de funciones, convergencia uniforme etc.", que se ocupa, básicamente, de la secuencia de funciones, pero hasta ahora [soy un 2. año de física y matemáticas del estudiante], no he visto ninguna aplicación real del concepto de secuencia de funciones. Me refiero, por ejemplo, he visto un montón de aplicación de secuencias en la definición de continuidad, compacidad, etc. (nuestro instructor hace todo el análisis basado en secuencias), pero este no es el caso de la secuencia de la función.

Por lo tanto, mi pregunta es que ¿cuáles son las aplicaciones del concepto de "secuencia de función" en tanto las matemáticas y la física ?

Answer 1

El mejor ejemplo de "aplicación real" es para la aproximación numérica de las soluciones. Un montón de problemas no puede resolverse con una fórmula de agradable y por eso existe la matemática numérica. Por ejemplo, puede utilizar el método de Galerkin para obtener una secuencia de funciones que converge a la solución de una ecuación diferencial.

Answer 2

Para agregar otra aplicación de secuencias de funciones a las muchas otras buenas aplicaciones ya mencionadas, la convergencia de las secuencias de funciones está en el centro de la estadística matemática' dos más fundamental teoremas.

En la moderna teoría de la probabilidad, variables aleatorias se define como (medible) de las funciones de un espacio muestral. En las estadísticas, nos gusta tomar una muestra $X_1,\ldots,X_n$ y la construcción de una estadística de $Y_n$ que "resume" nuestra muestra. Convergencia de funciones nos permite estudiar cómo la estadística de $Y_n$ se comporta como nos hacemos más y más muestras.

Por ejemplo, si usted tiene variables aleatorias $X_1,X_2,\ldots$ que son independientes, idénticamente distribuidas, y tienen definida una expectativa (media) $\mu = E(X_1) = E(X_2) = \cdots$, entonces la ley de los grandes números establece que los promedios

$$ \bar{X}_n := \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} $$

converge a la función constante con valor de $\mu$.¹ Esta es una muy formal enunciado matemático que demuestra que la idea intuitiva de que si el promedio de un gran número de ensayos de un experimento al azar que eventualmente converger a la media real.

El teorema del límite central, afirma que si $\sigma$ es la desviación estándar de $X_1,X_2,\ldots$ y calcular

$$ \xi_n := \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} $$

a continuación, $\xi_n$ (una secuencia de funciones) converge en distribución a una variable aleatoria normal estándar. La importancia de este resultado es difícil exagerar la medida que (junto con la ley de los grandes números) constituye la columna vertebral de las estadísticas.

---

¹ De hecho, $\bar{X}_n$ converge a la función constante $\mu$ en dos sentidos separados, correspondientes a los débiles y fuertes de las leyes de los grandes números. En el fuerte de la ley, las funciones de $\bar{X}_n$ convergen a $\mu$ "casi en todas partes" y que más o menos significa $\bar{X}_n(x)$ converge a $\mu$ para todos, pero una muy "pequeño" conjunto de valores de $x$. Esta forma de convergencia debe ser discutido en la mayoría de los libros en la medida de Lebesgue y la integración de la teoría.

Answer 3

Dado un subconjunto $X\subset \mathbb{R}^n$, que parecen comprender la utilidad de las secuencias en $X$ con el fin de estudiar las propiedades de $X$ (apertura, solidez, integridad,$\dots$) y las propiedades de los mapas de $F\colon X \rightarrow \mathbb{R}$ $X$ (tales como las de continuidad). Esta utilidad persiste en un contexto más general, por ejemplo en el caso de $X$ es simplemente un espacio métrico.

Muchas de las colecciones de las funciones puede ser dado una métrica de la estructura, por ejemplo:

• $X_1=\{x\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}^n\vert ~ x \text{ is continuous}\}$ ,$d(x,y)=\sup_{t\in[0,1]}\vert x(t) - y(t)\vert$.
• $X_2=\{x\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}^n\vert ~ x \text{ is continuously differentiable}\}$ ,$d(x,y)= \sup_{t\in[0,1]}\vert x(t) - y(t)\vert + \sup_{t\in[0,1]}\vert x'(t) - y'(t)\vert$.
• Ver la lista aquí debajo de análisis funcional.

A continuación, una secuencia convergente $(x_n)_n\subset X_1$ es simplemente una secuencia de funciones continuas que converge uniformemente.

Aplicación 1: El Picard-Lindelöf-Teorema da una condición bajo la cual una ODA admite una (única) solución. Su prueba es como sigue: Una muestra de que una función continua $x\in X_1$ cumple cierta ODE si y sólo si se cumple el punto fijo de la ecuación de $Tx=x$ donde $T$ es un cierto mapa de $T\colon X_1\rightarrow X_1$. A continuación, una muestra que $X_1$ es completa (el uso de secuencias de funciones) y se aplica el punto fijo de Banach teorema. La prueba también implica que, comenzando con una arbitraria $x_0 \in X_1$, la secuencia de $x_n=T \circ \dots \circ T(x_0)$ ($n$-veces) converge uniformemente a la solución de $x$.

Aplicación 2: Consideremos el subespacio $X_2'=\{x\in X_2\vert ~ x(0)=p,x(1)=q\}\subset X_2$ (con la misma métrica) para algunos puntos de $p,q\in\mathbb{R}^n$ y definen $F\colon X_2'\rightarrow \mathbb{R}$ $$ F(x) = \int_0^1 \vert x'(t)\vert dt $$ Interpretar $x$ como una curva de$p$$q$, $F(x)$ es exactamente la longitud de esta curva. Ahora uno puede mostrar que $F$ es continua en (el uso de secuencias de funciones), es decir, wiggeling una curva un poco también sólo cambia la longitud de un poco.

También se puede demostrar que $F$ tiene un único mínimo, que pasa a ser una línea recta (no es de extrañar, esta es la curva de longitud más corta entre dos puntos). Este tiene más interesantes generalizaciones: Si sustituye $\mathbb{R}^n$ en la definición de $X_2$ por más de un interesante espacio, digamos una esfera, los puntos extremos de $F$ corresponden a geodesics.

Resultado: Usted puede estudiar problemas interesantes en el análisis y la geometría, y (...) si usted entiende los espacios de funciones de $X$ bastante bien. En fin, que a menudo utilizan secuencias.

Answer 4

Como usted está interesado en la física, vale la pena mencionar que en la mecánica cuántica, la función de onda de una partícula puede ser ampliada como una suma infinita de funciones propias del Hamiltoniano del operador a través del Teorema Espectral (o una integral si la partícula es independiente.) Así, por ejemplo, si nuestro operador Hamiltoniano es $\hat{H}$, nuestros valores propios son $E_1,E_2,\ldots$, y nuestras funciones propias son $\psi_1,\psi_2,\ldots$ (es decir, $\hat{H}(\psi_n) = E_n\psi_n$ por cada $n \in \Bbb N$), entonces cualquier función de onda puede ser ampliada como una infinita suma de estas funciones propias. Esto es, para cualquier función de onda $\phi$ existe $(c_n)$ tal tht

$$ \phi = \sum_{k=1}^\infty c_k\psi_k, \etiqueta{1} $$

lo que significa que la secuencia de funciones

$$ \phi_N = \sum_{k=1}^N c_k \psi_k \text{ converge a } \phi. $$

Mediante el estudio de secuencias convergentes de funciones, aprendemos preguntas importantes acerca de cuándo puede manipular una serie infinita de funciones de término a término. Siempre se puede aplicar el Hamiltoniano término por término, entonces

$$ \hat{H}\phi = \sum_{k=1}^\infty c_k \hat{H}\psi_k = \sum_{k=1}^\infty c_k E_k\psi_k. $$

Con un poco más de grasa del codo, puede utilizar esta idea para reducir el tiempo completo dependiente de la ecuación de Schrödinger, así que la solución para todas las funciones propias $(\psi_n)$ y la expansión de sus condiciones iniciales de la forma de (1), en la que el tiempo-dependiente de la solución es

$$ \phi(t) = \sum_{k=1}^\infty c_ke^{-iEt/\manejadores} \psi_k. $$

Todo esto sólo funciona porque se pueden aplicar los operadores de plazo por el término de (1), que se basa en los teoremas que demuestra que a la hora de estudiar serie de funciones.

Answer 5

La forma más común en que se puede "ver" de una secuencia de cualquier tipo es una aproximación. Una manera en que podría motivar el estudio de las secuencias de funciones que podemos utilizar secuencias de funciones a la aproximación de un extraño y no habituales en función de las mejores que, por ejemplo, la expansión de Taylor dice usted bien puede aproximar la función dada con polinomios.

Uno de los temas más importantes de estas zonas es la transformada de Fourier de la Teoría. Realmente es un tema que interwines toda clase de matemáticas de la teoría de la representación a ergodic theory. Usted puede encontrar muchos videos en youtube mostrando la idea básica. También la wikipedia es un buen lugar para empezar .