Demostrar que tiene la desigualdad $\{\sqrt{1}\}+\{\sqrt{2}\}+\cdots+\{\sqrt{n^2}\} ≤ \frac{n^{2}-1}{2}$

Question

Demostrar que tiene la siguiente desigualdad:
$$\{\sqrt{1}\}+\{\sqrt{2}\}+\cdots+\{\sqrt{n^2}\} ≤ \frac{n^{2}-1}{2}$$
donde $n \in\mathbb N$ $\{k\}$ es una parte fraccionaria de $k$.

Answer 1

Tienes %#% $ #%

Tenemos: $$S_n=\sum_{k=1}^{n-1}(\sum_{j=0}^{2k}\{\sqrt{k^2+j}\})=\sum_{k=1}^{n-1}(\sum_{j=0}^{2k}(\sqrt{k^2+j}-k)$ $ y $$\sqrt{k^2+j}-k=\frac{j}{\sqrt{k^2+j}+k}\leq \frac{j}{2k}$ $