¿La "Secuencia de Mirar y Decir" de Conway está aumentando estrictamente?

Question

Tengo una pregunta directa sobre La "Secuencia de mirar y decir" de Conway ( A005150 ):

La secuencia de números enteros que comienza con un solo dígito y en la que el siguiente término se obtiene describiendo el término anterior. Empezando por el 1, la secuencia estaría definida por "1, un 1, dos 1s, un 2 un 1", etc., y el resultado es 1, 11, 21, 1211, 111221, ....

Fuente: http://mathworld.wolfram.com/LookandSaySequence.html

Pregunta: ¿Esta secuencia es estrictamente creciente?

Se sabe que, asintóticamente, el número de dígitos de cada término crece algo más del 30%:

si $L_n$ es el número de dígitos del $n$ -término de la secuencia, entonces

$\lambda := \displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{L_{n+1}}{L_n} = 1.303577269\dots}$

donde $\lambda$ es la única raíz real positiva del siguiente polinomio de grado 71: [...]

Fuente: http://www.nathanieljohnston.com/2010/10/a-derivation-of-conways-degree-71-look-and-say-polynomial/

Sin embargo, ¿es este crecimiento monotónico en toda la secuencia, o existe un número finito de ejemplos patológicos en los que el $(n+1)$ -es menor que el $n$ -¿Cuál es el plazo?

Seguramente, esto depende de la semilla inicial de la secuencia. Por ejemplo, en la operación "mirar y decir", $111222\to 3132$ disminuye. ¿Se sabe si hay algún caso de comportamiento como éste en la secuencia donde la semilla es 1?

Answer 1

Podemos demostrar que la secuencia Look and Say es estrictamente creciente aplicando la Teorema cosmológico a la secuencia.

El Teorema Cosmológico es un análisis de las secuencias Look and Say que demuestra que existen $92$ cadenas (conocidas como elementos ) cuyas cadenas sucesoras sólo contienen estos elementos. Se conjetura que cualquier cadena que contenga sólo $1$ , $2$ y $3$ que no contenga cuatro del mismo número sucesivamente, se descompondrá en una cadena que sólo contenga estos elementos.

Conway les aplicó los nombres de los elementos químicos. Una lista de los $92$ elementos con sus patrones de desintegración se pueden encontrar aquí .

Prueba

En primer lugar, observamos que la secuencia con semilla $1$ es estrictamente creciente hasta la octava entrada $1113213211$ que se compone de los elementos $72$ $Hf=11132$ y $50$ $Sn=13211$ .

Entonces, por inspección, encontramos que sólo uno de los $92$ elementos decae en un número menor, que es $63$ $Eu=1113222$ que se convierte en $311332$ .

Un análisis más detallado de $Eu$ muestra que tiene $4$ elementos predecesores:

$Ga\rightarrow Eu$ $Ca$ $Ac$ $H$ $Ca$ $Zn$
$Ru\rightarrow Eu$ $Ca$ $Tc$
$Te\rightarrow Eu$ $Ca$ $Sb$
$Gd\rightarrow Eu$ $Ca$ $Co$

Así, siempre que el elemento $Eu$ se genera siempre va seguido de $Ca$ .

$Eu$ $Ca=1113222\ 12$ que decae a $Sm$ $K=311332\ 1112$ , por lo que estos elementos combinados aumentan.

El elemento $1$ $H=22$ es constante en el sentido de que decae a $22$ pero, como no puede aparecer por sí mismo, debe ir acompañado de elementos crecientes.

Así, hemos demostrado que cada cuerda que representa un elemento del Teorema Cosmológico, con casos especiales para $Eu$ y $H$ , decae a una cadena de valores más alta.

De ahí la secuencia de Mirar y Decir con la semilla $1$ es estrictamente creciente para todas las entradas. $\square$