Que $f(x) = x^4 + 14x^3 + 52x^2 + 56x + 16.$Let $z_1, z_2, z_3, z_4$ ser las cuatro raíces de $f$. Encontrar el menor valor posible de $|z_az_b + z_cz_d|$ donde ${a, b, c, d} = {1, 2, 3, 4}.$
Por lo que he tratado de Vieta, pero es probar demasiado complejo y conectar un simple valor para tratar de encontrar una raíz falló, así que creo que esto va a ser mucho más difícil que encontrar las cuatro raíces--me pregunto si hay más técnicas para resolver este problema.
Sugerencia: las razones de simétrica de coeficientes están en el aumento de los poderes de $4$ desde $\,16/1 = (56/14)^2\,$. (Esto indica que el polinomio se reduce a un capicúa uno con la sustitución de $x=2y\,$, que luego pueden ser explícitamente resuelto a pesar de que los cálculos son tediosos.) Más útil, sin embargo, indica que si $z$ es una raíz, entonces también lo es $4/z\,$.
Vamos, a continuación, el $4$ raíces se $z_1=u, z_2=v, z_3=4/u,z_4= 4/v\,$. El uso que las raíces son reales, y $|z+1/z| \ge 2$ para todos los verdaderos $z$ se sigue que:
$\,|z_1z_3+z_2z_4| = 4+4 = 8$
$\,|z_1z_2+z_3z_4| = |uv + 16/uv| \;\ge\; 4 \cdot 2 = 8$
$\,|z_1z_4+z_2z_3| = |4(u/v+v/u)| \;\ge\; 4 \cdot 2 = 8$
Reclamar que el mínimo es de $8$. Voy a utilizar dxiv sugerencia. Que $g(y) = y^4+7y^3+13y^2+7y+1$ obviamente todas las raíces son reales y negativas ya que tenemos
\begin{array}{cccccc} y & -5 & -2 & -1 & -0.5 & 0 \\ g(y) & + & - & + & - & + \\ \end{matriz}
Sea $a,b,{1\over a},{1\over b}$ todas las raíces $g$ donde $a,b,$ son negativos.
Así que tenemos la siguiente expresiones posibles\begin{eqnarray} E_1 &=&ab+{1\over ab} >2\\ E_2 &=&{a\over b}+{b\over a} >2\\ E_3 &=&a{1\over a}+b{1\over b} =2\\ \end{eqnarray} y no es todos. Así $E_{\min}=2$. Así que el valor mínimo de la expresión dada es $4\cdot 2 =8$
Enfoque alternativo (sólo por diversión!):
[Posterior edit: no fue especialmente divertido...]
Háganos de abordar esto con la esperanza de que en realidad el factor.
El líder plazo es $x^4$ y el término constante es $16$, algo así como $(x+2)^4$ sería genial. Es evidente que esto no va a funcionar, aunque; en vez de eso, vamos a tratar el siguiente más probable sospechoso en estas configuraciones: una diferencia de cuadrados de factorización.
Vamos a tener que conduce plazo$x^2$, de modo que obtenemos $x^4$; tendremos término constante $4$, de modo que obtenemos $16$; y nosotros haremos nuestro mejor esfuerzo para obtener alrededor de $52x^2$: en particular, lo mejor que puedes hacer puede ser el cuadrado de $7x$ conseguir $49x^2$, un poco más será añadido a este en el proceso. De todos modos, hemos de profundizar basados en una razonable esperanza derivados de, sabiendo que este es un pre-cocinados concurso problema:
$$\big((x^2 + 7x + 4) + a\big)\big((x^2 + 7x + 4) - a\big) = (x^2 + 7x + 4)^2 - a^2$$
$$= x^4 + 14x^3 + 57x^2 + 56x + 16 - a^2$$
La configuración de este igual a la expresión original, podemos encontrar:
$$a^2 = 5x^2$$
... este ha funcionado increíblemente bien: set $a = x\sqrt{5}$ (o $-x\sqrt{5}$: no importa ya que nuestro producto tiene un $a$ $-a$ simétricamente colocados en él) y tenemos la factorización en cuadrática términos, de los cuales uno puede encontrar todos los cuatro de las raíces.
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