$ F(x)= \int_{\sin x}^{\cos x} e^{t^2+xt}\,dt$. ¿Qué es $F'(0)=$?

Question

$$\begin{align*} F(x)&= \int_{\sin x}^{\cos x} e^{t^2+xt}\,\mathrm dt\\F'(0)&=\,?\end{align*}$$

Sólo sé cómo lidiar con el tipo de $$F(x)=\int h(x)g(t)\,\mathrm dt $$ for which I can treat $h(x)$ as a constant relative to $t$ and move it out of the integral and differentiate. But in this problem I cannot separate $x$ from $t$.

Answer 1

Deje $F(x)$ ser dada por

$$F(x)=\int_{\sin(x)}^{\cos(x)}e^{t^2+xt}\,dt$$

El uso de la Regla de Leibniz para la Diferenciación de Debajo de la Integral, tenemos

$$\begin{align} F'(x)&=\left.\left(e^{t^2+tx}\right)\right|_{t=\cos(x)}\left(\frac{d\cos(x)}{dx}\right)-\left.\left(e^{t^2+tx}\right)\right|_{t=\sin(x)}\left(\frac{d\sin(x)}{dx}\right)\\\\ &+\int_{\sin(x)}^{\cos(x)}\frac{\partial \left(e^{t^2+xt}\right)}{\partial x}\,dt\\\\ &=-\sin(x)e^{\cos^2(x)+x\cos(x)}-\cos(x)e^{\sin^2(x)+x\sin(x)}+\int_{\sin(x)}^{\cos(x)}te^{t^2+xt}\,dt\tag 1 \end{align}$$

Establecimiento $x=0$ $(1)$ revela

$$\begin{align} F'(0)&=-1+\int_0^1te^{t^2}\,dt\\\\ &=-1+\frac12(e^1-1)\\\\ &=\frac12(e^1-3) \end{align}$$

Answer 2

Me disculpo si esto es sólo el Dr. MV la idea, pero espero que esto sea una simple exposición.

El uso de $v=\cos(x)$, $u=\sin(x)$, y $y=t^2$, tenemos $$ \begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\sin(x)}^{\cos(x)}e^{t^2+xt}\mathrm{d}t\\[3pt] &=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\partial}{\partial v}\int_u^ve^{t^2+xt}\mathrm{d}t -\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\frac{\partial}{\partial u}\int_u^ve^{t^2+xt}\mathrm{d}t +\frac{\partial}{\partial x}\int_u^ve^{t^2+xt}\mathrm{d}t\\[3pt] &=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}e^{v^2+xv} -\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}e^{u^2+xu} +\int_u^vte^{t^2+xt}\mathrm{d}t\\ &=-\sin(x)e^{\cos^2(x)+x\cos(x)} -\cos(x)e^{\sin^2(x)+x\sin(x)} +\int_{\sin(x)}^{\cos(x)}te^{t^2+xt}\mathrm{d}t\\ &=-0-1+\int_0^1te^{t^2}\mathrm{d}t\\ &=-1+\frac12\int_0^1e^y\mathrm{d}y\\[3pt] &=\frac12e-\frac32 \end{align} $$

Answer 3

Considere la función de tres variables $$g(x,y,z)=\int_z^y e^{t^2+xt}\,dt.$$ Por el teorema fundamental del cálculo, usted sabe que $\frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z)=e^{y^2+xy},$ mientras $\frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)=-e^{z^2+xz}$. También se $\frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)=\int_z^y \frac{\partial}{\partial x}(e^{t^2+xt})dt=\int_z^yt (e^{t^2+xt})\,dt.$ Ahora su función es la composición,$g(x,\cos x,\sin x)$, por lo que puede utilizar la regla de la cadena para encontrar que $$F'(x)=\frac{\partial g}{\partial x}(x,\cos x,\sin x)+\frac{\partial g}{\partial y}(x,\cos x,\sin x)(-\sin x)+\frac{\partial g}{\partial z}(x,\cos x,\sin x) (\cos x).$$