Una suma de coeficientes binomiales

Question

En mi trabajo sobre $f$ -vectores en los politopos, me encontré con una interesante suma que ha resistido todos los intentos de simplificación algebraica. ¿Se simplifica la siguiente suma de coeficientes binomiales? \begin {align} \sum_ {m = 0}^{n} (-1)^{n-m} \binom {n}{m} \binom {m-1}{l} \qquad l \geq 0 \end {align} Actualización: Después de un poco de trabajo numérico, creo que una identidad de ortogonalidad de la suma binomial está en el trabajo aquí porque veo sólo $\pm 1$ y ceros. Cualquier ayuda sería ciertamente apreciada.

Tomo $\binom{-1}{l} = (-1)^{l}$ , $\binom{m-1}{l} = 0$ para $0 < m < l$ y la definición estándar en caso contrario.

Gracias.

Answer 1

Este es un caso especial de la identidad $$\sum_k \binom{l}{m+k} \binom{s+k}{n} (-1)^k = (-1)^{l+m} \binom{s-m}{n-l},$$ que es la identidad 5.24 en la página 169 de Matemáticas concretas , 2ª edición. Con $l = n$ , $m = 0$ , $s = -1$ , $k = m$ y $n = l$ vemos que la suma de la OP es $$(-1)^{2n} \binom{-1}{l-n} = \binom{-1}{l-n}.$$ Esto es $(-1)^{l-n}$ cuando $l \geq n$ y $0$ cuando $l < n$ como en el comentario de Fabian a la respuesta de Plop.

Answer 2

$$\sum_{m=0}^n (-1)^{n-m} \binom{n}{m} \binom{m-1}{l} = (-1)^{l+n} + \sum_{l+1 \leq m \leq n} (-1)^{n-m} \binom{n}{m} \binom{m-1}{l}$$ Así que tenemos que calcular esta última suma. Es claramente cero si $l \geq n$ por lo que asumimos que $l < n$ .

Es igual a $f(1)$ donde $f(x)= \sum_{l+1 \leq m \leq n} (-1)^{n-m} \binom{n}{m} \binom{m-1}{l} x^{m-1-l}$ . Tenemos que $$\begin{eqnarray*} f(x) & = & \frac{1}{l!} \frac{d^l}{dx^l} \left( \sum_{l+1 \leq m \leq n} (-1)^{n-m} \binom{n}{m} x^{m-1} \right) \\ & = & \frac{1}{l!} \frac{d^l}{dx^l} \left( \frac{(-1)^{n+1}}{x} + \sum_{0 \leq m \leq n} (-1)^{n+1} \binom{n}{m} (-x)^{m-1} \right) \\ & = & \frac{1}{l!} \frac{d^l}{dx^l} \left( \frac{(-1)^{n+1}}{x} + \frac{(x-1)^n}{x} \right) \\ & = & \frac{(-1)^{n+1+l}}{x^{l+1}} + \frac{1}{l!} \sum_{k=0}^l \binom{l}{k} n(n-1) \ldots (n-k+1) (x-1)^{n-k} \frac{(-1)^{l-k} (l-k)!}{x^{1+l-k}} \end{eqnarray*}$$ (esta última transformación gracias a Leibniz ) y como $n>l$ , $f(1)=(-1)^{l+n+1}$ .

Al final, su suma es igual a $(-1)^{l+n}$ si $l \geq n$ , $0$ de lo contrario.

Answer 3

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ $\ds{\sum_{m = 0}^{n}\pars{-1}^{n - m}{n \choose m}{m - 1 \choose \ell}:\ {\large ?}.\qquad\ell \geq 0}$

\begin {align} & \color {#66f}{ \large\sum_ {m = 0}^{n} \pars {-1}^{n - m}{n \choose m} {m - 1 \choose \ell }} \\ [3mm]&= \pars {-1}^{n} \sum_ {m = 0}^{n} \pars {-1}^{m}{n \choose m} \oint_ {0\ <\ \verts {z}\a =\ a\a <\ 1}{} \pars {1 + z}^{m - 1} \over z^{ \ell + 1}} \,{ \dd z \over 2 \pi\ic } \\ [3mm]&= \pars {-1}^{n} \oint_ {0\ <\ \verts {z}\a =\a\a <\a1} {1 \over z^{ \ell + 1} \pars {1 + z}} \sum_ {m = 0}^{n}{n \choose m} \pars {-z - 1}^{m}\N- \dd z \over 2 \pi\ic } \\ [3mm]&= \pars {-1}^{n} \oint_ {0\ <\ \verts {z}\a =\a\a <\a1} {1 \over z^{ \ell + 1} \pars {1 + z}} \bracks {1 + \pars {-z - 1}^{{n}}, { \dd z \over 2 \pi\ic } \\ [3mm]&= \oint_ {0\ <\ \verts {z}\a =\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\autoridad. \over z^{ \ell - n + 1} \pars {1 + z}} { \dd z \over 2 \pi\ic } = \sum_ {k = 0}^{ \infty } \pars {-1}^{k} \oint_ {0\ <\ \verts {z}\a =\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\autoridad. \over z^{ \ell - n - k + 1}}{ \dd z \over 2 \pi\ic } \\ [3mm]&= \sum_ {k = 0}^{ \infty } \pars {-1}^{k}\, \delta_ { \ell - n,k} = \color {#66f}{ \large\left\lbrace\begin {array}{lcl} \pars {-1}^{ \ell - n} & \mbox {si} & \ell \geq n \\ [2mm] 0&& \mbox {de lo contrario} \end {array} \right. } \end {align}