Estoy haciendo integral de bucle en la teoría cuántica de campos, y un problema en el cambio de la variable de integración me está dando un problema. Permítanme ilustrarlo con un ejemplo.
Tengo una integral que se ve aproximadamente como
$$I = \int ^1_0 ~ \mathrm dx \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac { \mathrm d^dk}{(2 \pi )^d} \frac {(k+p) \cdot\gamma }{((k+px)^2+m^2x^2)^2}$$
donde $d = 4-2 \epsilon $ que se utiliza a menudo en la "regularización dimensional" en la física y $ \gamma $ es el Dirac matrices gamma también se utiliza en la física.
Me acerco a esta integral en dos métodos diferentes:
1) Primero, cambio $k = k'-px$ y asumir $ \mathrm d^4k = \mathrm d^4k'$ ya que la integración es de $- \infty $ a $ \infty $ lo entiendo, $$I = \int ^1_0 ~ \mathrm dx \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac { \mathrm d^dk}{(2 \pi )^d} \frac {(k+p(1-x)) \cdot\gamma }{(k^2+m^2x^2)^2}.$$ (Por cierto, $p^2 = (p \cdot\gamma ) (p \cdot\gamma )$ ).
Ahora digamos que me integro para conseguir $I = \displaystyle \int ^1_0~ \mathrm dx f(x,p \cdot\gamma )$ Entonces tomar derivado con respecto a $p \cdot\gamma $ :
$$ \frac { \mathrm d}{ \mathrm d p \cdot\gamma } I = \int_0 ^1 ~ \mathrm dx \frac { \partial }{ \partial p \cdot\gamma }~(f(x,p \cdot\gamma ))\, .$$
2) Esta vez, tomo el derivado w.r.t., $p \cdot\gamma $ el primero en llegar:
\begin {alinear} \frac { \mathrm d}{ \mathrm d p \cdot\gamma } I &= \int ^1_0 ~ \mathrm dx \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac { \mathrm d^dk}{(2 \pi )^d} \frac { \partial }{ \partial p \cdot\gamma } \frac {(k+p) \cdot\gamma }{((k+px)^2+m^2x^2)^2} \\ &= \int ^1_0 ~ \mathrm dx \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac { \mathrm d^dk}{(2 \pi )^d} \left ( \frac {1}{((k+px)^2+m^2x^2)^2}+ \frac {((k+p) \cdot\gamma )(2x(k+px) \cdot\gamma )}{((k+px)^2+m^2x^2)^3} \right ) \end {alinear}
Ahora, cambio $k=k'-px$ otra vez, y obtengo una respuesta diferente.
¿Por qué son diferentes el uno del otro, y si quiero conseguir $ \frac { \mathrm d}{ \mathrm d p \cdot\gamma } I$ ¿Cuál debería usar? Asumiría que el segundo método es correcto, si hay diferencia en la respuesta, pero todos los libros de texto tienen respuestas que coinciden con mi primer método; lo cual parece extraño.
