Dos ejes de rotación

Question

Entiendo que el momento angular es un vector, etc.

Pero, ¿qué ocurre realmente cuando un objeto, por ejemplo una pelota, gira sobre dos ejes? ¿Cómo sería el movimiento resultante?

Answer 1

Se parece a la rotación alrededor de un eje diferente con una velocidad de rotación diferente. En concreto, si configuras un objeto para que rote con velocidad angular $\vec\omega_1$ y también con velocidad angular $\vec\omega_2$ entonces realmente está rotando con velocidad angular $\vec\omega_1 + \vec\omega_2$ . La dirección del vector $\vec\omega_1 + \vec\omega_2$ es el eje de rotación global del objeto.

Teorema de rotación de Euler garantiza que cualquier rotación de un objeto rígido puede expresarse como una rotación alrededor de un único eje.

Todo esto se aplica de forma instantánea, en el sentido de que, en un momento dado, el cuerpo está girando alrededor de un único eje. Es posible que la dirección del eje de rotación cambia Sin embargo, con el tiempo, esto puede dar lugar a movimientos más complicados que pueden parecer imposibles de describir mediante la rotación de un solo eje.

Answer 2

La rotación angular es un vector, por lo que en un instante dado cualquier cuerpo rígido sólo puede estar rotando alrededor de un eje. Si el cuerpo gira libremente en el espacio sin fuerzas externas, el momento angular se conserva. Si el objeto es esféricamente simétrico como la pelota que sugieres como ejemplo, entonces la velocidad angular está en la misma dirección que el momento angular y su movimiento sólo puede ser una simple rotación constante alrededor de un eje.

Para un objeto rígido asimétrico más complejo, el momento de inercia es una matriz simétrica con tres ejes principales perpendiculares. Si la rotación se alinea con uno de estos ejes, seguirá teniendo una velocidad angular constante, pero si no es así, la velocidad angular puede cambiar de dirección aunque el momento angular permanezca constante. Hay casos en los que el vector velocidad angular se procesa alrededor de la dirección del momento angular. Esto hace que parezca que tiene más de un eje de rotación, pero en realidad es un eje que está girando. Aquí hay un vídeo de animación para mostrar esto

http://www.youtube.com/watch?v=s9wiRjUKctU

Un movimiento más complejo es posible cuando los tres ejes son diferentes, como se ve en esta animación

http://www.youtube.com/watch?v=qEWwIV9Z-eA

En este último vídeo se utiliza un libro con tres momentos de inercia diferentes en la estación espacial para demostrar la variedad de movimientos posibles.

http://www.youtube.com/watch?v=GgVpOorcKqc

Answer 3

Geométricamente, la rotación sólo es posible sobre un eje. Este eje puede cambiar en el tiempo, pero en cada instante será uno.

Se trata de una propiedad geométrica del espacio tridimensional.

El eje del momento angular no coincide con el eje de rotación. Generalmente, los ejes de rotación giran alrededor del eje del momento angular.

He aquí el ejemplo de un cuerpo en rotación cuyo momento angular es absolutamente constante, pero cuyo eje de rotación varía:

http://www.youtube.com/watch?v=L2o9eBl_Gzw

Answer 4

Un cuerpo rígido sólo puede girar sobre un eje y permanecer rígido. De hecho, el único movimiento permitido es un tornillo, mientras que una rotación alrededor de un eje ocurre simultáneamente como una traslación a lo largo del mismo eje (llamada torsión ). Su relación se denomina paso de tornillo. Una rotación pura tiene paso=0.

Ahora bien, si lo que preguntas es qué pasa si tienes una articulación que permite dos o más rotaciones (como una junta universal), entonces el resultado es que en cualquier instante sólo hay un eje de rotación efectivo.

Si se tiene una secuencia de tres rotaciones, con matrices de rotación $R_1$ , $R_2$ et $R_3$ cada uno alrededor de un eje local $\hat{z}_1$ , $\hat{z}_2$ et $\hat{z}_3$ el vector velocidad angular total es

$$ \vec{\omega} = \hat{z}_1 \dot{\theta}_1 + R_1 \left(\hat{z}_2 \dot{\theta}_2 + R_2 \left( \hat{z}_3 \dot{\theta}_3 \right) \right ) $$

Answer 5

Es absolutamente imposible que un cuerpo gire instantáneamente con respecto a dos ejes diferentes (¡las ecuaciones que dan el eje de rotación conocido en varios puntos tienen siempre una solución única!) Lo que ocurre en realidad es que cuando un cuerpo gira, el eje de rotación cambia de un instante a otro, pero en cada instante sólo hay un eje de rotación.

La velocidad angular no es un vector 3 ordinario, sino un pseudovector (o vector axial). La orientación de un cuerpo con respecto a ejes fijos viene dada por una matriz ortogonal $\mathbf{R}_t$ y la velocidad angular se puede calcular como:

$$\boldsymbol{\Omega}_t = \dot{\mathbf{R}}_t \mathbf{R}_t^T = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z(t) & \omega_y(t) \\ \omega_z(t) & 0 & -\omega_x(t)\\ -\omega_y(t) & \omega_x(t) & 0 \end{bmatrix}$$

Es una práctica común definir el pseudovector $\boldsymbol{\omega}(t) = \omega_x(t) \boldsymbol{\hat{\imath}} + \omega_y(t) \boldsymbol{\hat{\jmath}} + \omega_z(t) \boldsymbol{\hat{k}}$ que demuestran que para cada tiempo $t$ hay una dirección bien definida $\boldsymbol{\omega}(t)$ para el eje de rotación.