$f,g,h$ ser un holomorphic funciones tales que $|f(z)|+|g(z)|+|h(z)|=1$

Question

¿Que $U\subseteq \mathbb{C}$ ser un conjunto abierto conectado, y que $f,g,h:U\to\mathbb{C}$ holomorphic funciones tales que $$|f(z)|+|g(z)|+|h(z)|=1$$ for all $z\in U $. How does one prove that $f, g, h$ son funciones constantes?

Se agradecería cualquier insinuación.

Answer 1

Recordemos la siguiente identidad para funciones armónicas $$\Delta (u^2 + v^2) = 2(|\nabla u|^2 + |\nabla v|^2).$ $ teniendo en cuenta un problema más general, supongamos que $$\sum_{i=1}^n |f_i(z)| =1$ $ % los $z\in U$para algún conjunto de holomorphic funciones $f_i$. Trabajar localmente, podemos asumir que $f_i= g_i^2$ holomorphic funciones $g_i=u_i+iv_i$. Entonces tomando el Laplaciano de ambos lados da % $ $$\sum_{i=1}^n |\nabla u_i|^2 + |\nabla v_i|^2 = 0.$por lo tanto, los gradientes de las partes real e imaginarias de $u_i$ y $v_i$ desaparecer todos $i$, por lo que cada $f_i$ debe ser constante.