Probar que si $\lim_{n \to \infty}z_{n}=A$, entonces: $$\lim_{n \to \infty}\frac{z_{1}+z_{2}+\cdots + z_{n}}{n}=A$$ Yo estaba pensando desdoblamiento en: $$(z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{N-1})+(z_{N}+z_{N+1}+\cdots+z_{n})$$ donde $N$ es el valor de $n$ que $|A-z_{n}|<\epsilon$ luego de tomar el límite de esta suma dividida por $n$ , y tomando nota de que la segunda suma es lo más cerca que deseen $nA$, mientras que la primera está tan cerca como se desee $0$. No estoy seguro si esto ayuda....
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Parece que la Tarea problema,por lo tanto voy a dar sugerencia: $$\frac{z_1+z_2+\cdots +z_n}{n}-A=\frac {(z_1-A)+(z_2-A)+\cdots +(z_n-A)}{n}$$ Ahora uso el defn de límite que para cada $\epsilon > 0$ existe $N_0 \in \mathbb N$ tal que $|z_m-A| < \epsilon \ \forall m \geq N_0$
Recuerde también que la desigualdad del triángulo : $|a_1+a_2+\cdots +a_n| \leq |a_1| + |a_2| +\cdots +|a_n|$
Se puede encontrar la correcta $a_i$ en términos de decir $z_i$'s??
Alya
Puntos
2106
Esto puede ser una fácil consecuencia de una declaración más general, que es de Polya los Problemas y Teoremas en el Análisis:
Deje $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser una verdadera secuencia tal que $\lim_{n\to\infty}a_n=a$. Y tenemos una familia de secuencias finitas $\{\{b_{nm}\}_{m=1}^{m=n}\}_{n=1}^{\infty}$: $$ b_{11}\\ b_{21},b_{22}\\ b_{31},b_{32},b_{33}\\ \cdots $$ tal que $$ b_{mn}\geq 0 $$ para todos los $m,n$, y $\sum_{m}b_{nm}=1$ por cada $n=1,2,\cdots$. Deje $\{c_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser tal que $$ c_n=\sum_{m=1}^na_mb_{nm} $$ A continuación, $\lim_{n\to\infty}c_n=a$ si y sólo si $\lim_{n\to\infty}b_{nm}=0$ por cada $m$.
La pregunta en el OP es un caso especial de la declaración por dejar que $$ b_{nm}=\frac{1}{n},\quad m=1,2,\cdots. $$
