Hizo sus estudios de graduación, incluyendo una tesis en Conjuntos Convexos en Espacios Lineales, y recibió su PhD en matemáticas en la Universidad de Virginia en 1949.

Question

Estoy revisando el análisis funcional y atascarse en esta pregunta.

Que $X$ ser un espacio de Banach dimensional infinito. Mostrar que existen conjuntos convexos $K_1, K_2$ tal que $K_1\cap K_2=\emptyset, K_1\cup K_2=X, cl(K_1)=cl(K_2)=X$ $cl(E)$ Dónde está el cierre de $E$.

No tengo ni idea acerca de dónde empezar. ¿Alguien me podría dar algunos consejos? Muchas gracias.

Answer 1

Sugerencia: Hay $f : X \to \mathbb{R}$ que es lineal y sin límites.

Answer 2

Tengo algo de enfoque, pero no sé mucho acerca de los espacios de Banach, así que no sé si funciona.

Podemos definir la secuencia de estructuras y conjuntos disjuntos $A_k$ $B_k$ donde $A_k \cup B_k$ $k$- dimensional en el subespacio, de la siguiente manera:

• $A_0 = \{0\}$ $B_0 = \emptyset$
• Para cada $n$, vamos a $S_n = A_n \cup B_n$, y deje $x_n \in X$ ser un vector arbitrario que no es en $S_n$. Luego la dejamos $$A_{n+1} = A_n \cup \{s + \lambda x_n : s \in S_n, \lambda > 0\},\\ B_{n+1} = B_n \cup \{s - \lambda x_n : s \in S_n, \lambda > 0\}. $$

La parte interesante de esta construcción es que por cada $n$,$A_n \in \text{cl } B_{n+1}$$B_n \in \text{cl } A_{n+1}$!

Ahora, vamos a $A = \bigcup_n A_n$$B = \bigcup_n B_n$. Si $X$ es countably dimensiones, debemos tener $X = A \cup B$ (al menos si elegimos la $x_n$ bien). Entonces, también debemos tener $\text{cl } A = \text{cl } B = X$.

Pero si $X$ es uncountably dimensiones, esto no funciona así. Mi idea sería hacer la secuencia de $A_n$ "aún más" el uso de la inducción transfinita, pero no estoy seguro de si esto funciona.