Cardinalidad de los números irracionales

Question

Sé y he demostrado más de una vez que el conjunto de números irracionales ( $\mathbb{I}$ ) es incontable, pero ahora se me da por resolver este problema:

Demostrar que $|\mathbb{I}|=|\mathbb{R}|$ ,

¿Cómo puedo hacerlo?

¿Tengo que asumir la Hipótesis del Continuum para que esa afirmación sea cierta?

Gracias

Answer 1

Fijar una enumeración de $\Bbb Q$ , $q_n$ y encontrar un subconjunto contablemente infinito de $\Bbb I$ , $r_n$ .

Ahora encuentre un mapa que fije todos los puntos que no son $r_n$ y mapea la unión $\{q_n,r_n\mid n\in\Bbb N\}$ en $\{r_n\mid n\in\Bbb N\}$ .

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Lo anterior puede traducirse con bastante facilidad a la aritmética cardinal. Escribe $\Bbb I$ como $A\cup B$ donde $A$ es contablemente infinito, y $B\cap A=\varnothing$ . Entonces tenemos:

$$|\Bbb R|=|\Bbb Q|+|\Bbb I|=\aleph_0+(|A|+|B|)=\aleph_0+(\aleph_0+|B|)=\aleph_0+|B|=|\Bbb I|.$$

Answer 2

A continuación se explica cómo construir una biyección explícita. Primero construimos una biyección $\alpha$ de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Q}$ . (Para definirlo tomaré $\mathbb{N}$ para incluir $0$ Esto no supone una diferencia real). En aras de la brevedad, llame a $\alpha(i)$ por el nombre $r_i$ .

Ahora procedemos de manera semiformal. Trazar todos los números que no son racionales o de la forma $r+\sqrt{2}$ , donde $r$ es racional, para ellos mismos.

Mapa racional $r_i$ a $r_{2i+1}+\sqrt{2}$ . Mapa $r_i+\sqrt{2}$ a $r_{2i}+\sqrt{2}$ .

Answer 3

En lo que sigue, escribo $\mathfrak c$ para $|\mathbb R|$ , como es habitual. Que $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ se puede demostrar de varias maneras. Por ejemplo, el Conjunto Cantor $C$ por construcción, tiene un tamaño $2^{\aleph_0}$ . Esto demuestra que $2^{\aleph_0}\le\mathfrak c$ . Por otra parte, es fácil ver que $\mathbb R$ tiene el mismo tamaño que cualquier intervalo abierto, y $|(0,1)|\le2^{\aleph_0}$ , ya que podemos identificar la expansión binaria de un número con una secuencia infinita de ceros y unos. (Estoy usando que si $A$ y $B$ se inyectan mutuamente, entonces hay una biyección entre ellos. Esta es la Teorema de Bernstein-Schröder .)

Para ver la relevancia de esto, su pregunta está pidiendo un caso muy particular de un resultado discutido aquí , es decir (sin asumir el axioma de elección) si $\mathfrak m$ y $\mathfrak n$ son cardinalidades, $\mathfrak m+\mathfrak m=\mathfrak m$ y $\mathfrak m+\mathfrak n=2^{\mathfrak m}$ entonces $\mathfrak n=2^{\mathfrak m}$ .

Su pregunta es el caso en el que $\mathfrak m=|\mathbb Q|=\aleph_0$ y $\mathfrak n=|\mathbb I|$ precisamente porque $|\mathbb R|=2^{\aleph_0}$ .

Hay otros enfoques, por supuesto. Como se ha comentado aquí y aquí Hay reales $r$ tal que el conjunto $C+r=\{x+r\mid x\in C\}$ está contenida en $\mathbb I$ . Esto demuestra que $\mathfrak c\le|\mathbb I|$ . Ya que claramente $|\mathbb I|\le\mathfrak c$ , volvimos a dar la igualdad.

Para otra variante de esta idea, observe que ( $|\mathbb I|\le\mathfrak c$ y) obviamente, $2^{\aleph_0}\le{\aleph_0}^{\aleph_0}$ y este último es el tamaño de $\mathbb I$ como se ha comentado, por ejemplo aquí donde se demuestra que no sólo existe una biyección entre el espacio $\mathbb I$ y Espacio Baire $\mathcal N=\mathbb N^{\mathbb N}$ pero, de hecho, los dos espacios son homeomorfo (donde este último tiene el topología del producto de un número contable de copias del conjunto discreto $\mathbb N$ ).

Answer 4

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ Así que $|\mathbb{R}| = |\mathbb{Q}| + |\mathbb{I}| = \max(|\mathbb{Q}|, |\mathbb{I}|) = |\mathbb{I}|$ ya que este último es incontable.