Probar que si f $C(X \times Y)$ entonces existe funciones.

Question

Deje $X$ $Y$ ser compacto métrica espacios. Estoy tratando de demostrar que si $f \in C(X \times Y)$$\varepsilon > 0 $, entonces existen funciones de $g_1, g_2,...,g_n \in C(X)$$h_1,...h_n \in C(Y)$, de modo que $|f(x,y) - \sum_{k=1}^n g_k(x)h_k(y) | &lt \varepsilon $ todos los $(x,y) \in X \times Y$. Necesito ayuda. Gracias.

Answer 1

El espacio de funciones de la forma $(x,y)\mapsto \sum_{i=1}^nf_i(x)g_i(y)$ (para algunos $n\geq 1$ y algunos $f_1,\ldots,f_n\in C(X)$, $g_1,\ldots,g_n\in C(Y)$) es un álgebra de Banach que separa los puntos de $X\times Y$. Su declaración es, pues, una aplicación directa de la Piedra-teorema de Weierstrass.