Demostrar las funciones son linealmente independientes

Question

Actualmente estoy pasando por Harvard Álgebra Abstracta utilizando Michael Artin del libro, y no tienen forma de verificar mis pruebas, y tenía la esperanza de asegurarse de que la prueba de que era correcto.

Lee la pregunta:

Deje $V$ ser el espacio vectorial de las funciones en el intervalo de $[0, 1]$. Probar que las funciones $x^{3}$, $\sin(x)$, y $\cos(x)$ son linealmente independientes.

Mi prueba es el siguiente:

Para que éstos sean linealmente dependientes debe existir un $a_{i} \neq0$ donde $i = 1, 2, 3$ tal que $$a_{1}x^{3} + a_{2}\sin(x) + a_{3}\cos(x) = 0.$$ Así que, vamos a hacer esto en 3 casos:

Caso 1: $x = 0$

En este caso, $x^{3} = 0$, $\sin(x) = 0$ pero $\cos(x) = 1$. Por lo tanto, tenemos $$0\times a_{1} + 0\times a_{2} + 1\times a_{3} = 0.$$ Por eso, $a_{1}$ $a_{2}$ podría ser cualquier cosa, pero $a_{3}$ debe ser 0.

Caso 2: $x \in (0,1)$

En este caso, $x^{3} \neq 0$, $\sin(x) \neq 0$ y $\cos(x) \neq 0$. Así que, para que esto sea cierto, $a_{1}$, $a_{2}$ y $a_{3}$ todos deben ser $0$.

Caso 3: $x = 1$

En este caso, $x^{3} = 1$, $\sin(x) = .8...$ y $\cos(x) = .5...$. Por lo tanto, tenemos $$1\times a_{1} +.8\times a_{2} + .5\times a_{3} = 0.$$

Por eso, $a_{3}$ podría ser de cualquier valor, mientras que $a_{1}$ $a_{2}$ debe $0$.

Por lo tanto, si $a_{1} \neq 0$ entonces tenemos un problema en el Caso 3. Si $a_{2} \neq 0$ tenemos un problema en el Caso 3. Si $a_{3} \neq 0$ tenemos un problema en el Caso 1. Así, sabemos que todos los de la $a$ valores deben ser $0$ y completar la prueba.

Answer 1

Si usted no haga suposiciones acerca de $a_i$s y, a continuación, mostrar que debe ser cero, que han demostrado independencia lineal.

A partir de la evaluación en $x=0$ (caso 1) correctamente a la conclusión de que $a_3=0$. En este punto, sugiero simplificar la expresión a $a_1x^3+a_2\sin(x)$.

En su evaluación en $x\in(0,1)$ (caso 2) tiene un error lógico de suponer que la suma de los números de sea cero requiere que cada número es igual a cero. $a+b=0$ no implica $a$ $b=0$

También hay un error aquí, en la estructura de la prueba, porque si usted ha demostrado que todos los de la $a_i$s son cero, sería que ya se ha realizado.

Usted tiene una lógica similar de error para la evaluación en $x=1$ (caso 3).

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Parece que estás pensando en el resultado de los valores de $a_i$s como dependiendo de lo $x$ es, por lo tanto los "casos" que son tratados de forma independiente. Pero el $a_i$s son siempre los mismos, para todas las $x$. Su idea de la evaluación en determinados puntos es buena, y se construyen unos sobre otros. La evaluación en $x=0$ muestra que $a_3=0$. La evaluación a los otros dos valores particulares de $x$, dicen, $x=\frac12$$x=1$, le daría dos ecuaciones con dos incógnitas para $a_1$$a_2$, y se puede mostrar que la única solución es $a_1=a_2=0$.

Alternativamente, usted puede tomar la derivada de la expresión para obtener $3a_1x^2+a_2\cos(x)=0$, y luego de la evaluación en $x=0$ le dará $a_2=0$ directamente, después de que te quedará $a_1x^3\equiv 0$, de la que no es difícil mostrar $a_1=0$, ya sea por la evaluación en $x=1$ o de tomar la derivada $3$ veces.

Answer 2

La diferenciación puede ser de gran alcance en casos como este. BobaFret la sugerencia de utilizar el Wronskian es una posibilidad, pero usted puede hacerlo de manera más directa. Sus errores han sido examinadas bien en Jonas Meyer de la respuesta, y también se refirió a la diferenciación.

Quiero añadir por qué la diferenciación es una buena idea. Como te has dado cuenta, la condición más simple es el de trabajar con al $x=0$. Usted puede tomar tres puntos en $[0,1]$ y evaluar la condición de cada uno, pero es más conveniente trabajar en el origen, si es posible. Desde sólo miren $x=0$ le da sólo una condición, usted debe próximo look cerca del origen. Este proceso de "mirar a una condición cerca de un punto" a menudo significa la diferenciación de la condición de allí. A menudo es más fácil diferenciar una condición dada en un punto fácil de estudiar la condición de la otra parte. Incluso si hay varios puntos fáciles que usted puede elegir, puede ser beneficioso para elegir sólo uno, sino mirar los diferentes derivados en el mismo punto. Esto no es sólo un poco de cálculo truco; esta idea no es del todo inusual en mi investigación.

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He aquí una completa solución con este método:

Tiene una función $$f(x)=a_{1}x^{3} + a_{2}\sin(x) + a_{3}\cos(x)$$ y usted sabe que $f(x)=0$ todos los $x\in[0,1]$. La evaluación en $x=0$ da $f(0)=a_3=0$, lo que en realidad $$f(x)=a_{1}x^{3} + a_{2}\sin(x).$$ Desde $f(x)=0$ todos los $x\in[0,1]$ y todas las funciones son diferenciables (en toda la recta real), también tiene $$f'(x)=3a_1x^2+a_2\cos(x)=0$$ para todos los $x\in[0,1]$. La evaluación de este a cero que deja la $0=f'(0)=a_2$. Por lo tanto $$f(x)=a_{1}x^{3}.$$ Ahora usted puede estudiar $f(1)$ encontrar ese $a_1=0$. Si desea mantener en la diferenciación, también puede inspeccionar $f'''(0)$ y llegan a la misma conclusión.

Answer 3

Su caso 2 y caso 3 están equivocados.

Para el caso 2, sólo porque $a_{1}x^{3} + a_{2}sin(x) + a_{3}cos(x) = 0$ no implica que el $a_i$ son todos cero. En realidad, para cualquier $x \ne 0$, y cualquier $a_2, a_3$, $a_1$ siempre puede ser elegido así que $a_{1}x^{3} + a_{2}sin(x) + a_{3}cos(x) = 0$ mediante el establecimiento de $a_{1}=-\dfrac{a_{2}sin(x) + a_{3}cos(x)}{x^{3}}$.

Para tu caso 3, $\sin(1) \ne 1$ y $\cos(1) \ne 0$. Si usted utiliza $\pi/2$, entonces esto funciona.

Answer 4

¿Sabes cuál es la Wronskian es? Si es así, esta prueba se reduce a calcular un $3 \times 3$ determinante.

Para $y_1 = x^3$, $y_2 = \sin x$, y $y_3 = \cos x$ el Wronskian es $$\begin{vmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ y_1' & y_2' & y_3' \\ y_1'' & y_2'' & y_3'' \\ \end{vmatrix}$$

en el que se evalúa a un valor distinto de cero de la expresión. Esto implica $y_1 = x^3$, $y_2 = \sin x$, y $y_3 = \cos x$ son linealmente independientes.

Answer 5

Por qué no suponer que $f(x) = a_1x^3+a_2 \sin x + a_3 \cos x$ es la función cero. A continuación, tenga en cuenta que $0 = f(0) = a_3$, por lo que podemos reescribir $f(x) = a_1x^3 + a_2 \sin x$. Evaluar este reescribe la expresión de $f$ en el punto de $\pi$ que $0 = f(\pi) = a_1 \pi^3 \Longrightarrow a_1 = 0$. Por lo tanto podemos volver a reescribir $f(x) = a_2 \sin x$. Por último, evaluar esta última se reescribe la expresión de $f$ en el punto de $\pi/2$ encontrar $0 = f(\pi/2) = a_2$.