¿Cómo probar que $(u-v)^+\in W_0^{1,2}(\Omega)$, si $u\in W_0^{1,2}(\Omega)$, $v\geq 0$?

Question

Sea $\Omega$ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y $W^{1,p}(\Omega)$ el espacio de Sobolev de funciones débilmente diferenciables $u\in L^p(\Omega)$ (es decir, para las cuales $D_iu$ existe y también pertenece a $L^p(\Omega)$, para cada $i\in\left\{1,\ldots,n\right\}$).

Estoy estudiando la regularidad de frontera de una solución del problema de Dirichlet para el círculo $D\subseteq\mathbb{R}^2$ y se necesita el principio débil del máximo. Para eso, necesitamos dar un significado adecuado para $u\leq v$ en $\partial\Omega$ (el borde de $\Omega$), donde $u,v\in W^{1,2}(\Omega)$. La definición es: $u\leq v$ en $\partial\Omega$ si $(u-v)^+\in W_0^{1,2}(\Omega)$, donde:

• $w^+=\max(w,0)$ denota la parte positiva de $w$; y
• $W_0^{1,2}(\Omega)$ es el cierre (en la norma de Sobolev) de $C_0^\infty(\Omega)=\left\{w\in C^\infty(\Omega):\text{supp}(w)\text{ es compacto}\right\}$

Ahora, una gran cantidad de afirmaciones relacionadas con ese concepto necesitan el siguiente lema (o algo similar), el cual no he podido demostrar:

Lema: Sea $u\in W_0^{1,2}(\Omega)$, $v\in W^{1,2}(\Omega)$ tal que $v\geq 0$ punto a punto. Mostrar que $(u-v)^+\in W_0^{1,2}(\Omega)$.

Intuitivamente, eso debería ser cierto. Si pensamos en funciones continuas $u$ y $v$ tales que $u\in C_0(\Omega)$, entonces $(u-v)^+\in C_0(\Omega)$, ya que $|(u-v)^+|\leq|u|$ (donde $C_0(\Omega)$ denota el conjunto de funciones continuas con soporte compacto de $\Omega$ a $\mathbb{R}$). Utilizando suavizadores, es fácil ver que $C_0(\Omega)\subseteq W_0^{1,2}(\Omega)$ y el lema es cierto en ese caso. Intenté dar la siguiente demostración:

El caso $u\in C_0^\infty(\Omega)$ es lo suficientemente fácil. Ahora, sea $\left\{u_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq C_0^\infty(\Omega)$ una secuencia que converge en $W^{1,2}(\Omega)$ a $u$. Tomando subsucesiones si es necesario, intenté lograr convergencia puntual (casi en todas partes en $\Omega$) de $(u_n-v)^+$ y $D_i(u_n-v)^+$ a $(u-v)^+$ y $D_i(u-v)^+$, respectivamente, para así aplicar el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue y concluir la convergencia en $W^{1,2}(\Omega)$, demostrando así el lema. El problema radica exactamente en las derivadas: Dado que $Dw^+(x)=0$ si $w(x)\leq 0$ y $Dw^+(x)=Dw(x)$ si $w(x)>0$ ($\forall w\in W^{1,2}(\Omega)$: esto se sigue de la regla débil de la cadena), no podemos garantizar la convergencia puntual si $u(x)=v(x)$.

Cualquier idea sería de gran valor. Incluso si se debe asumir que $\Omega$ es acotado y/o $v\in C^\infty(\Omega)\cap C^0(\overline{\Omega})$, sería suficiente para lo que necesito.

Gracias de antemano.

Answer 1

Encontré una bonita prueba elemental para esto: Todas las igualdades se suponen que se cumplen casi en todas partes.

 

Lema: Sea $u\in W^{1,p}(\Omega)$ y $N=\left\{x\in\Omega:u(x)=0\right\}$. Entonces $D_iu=0$ casi en todas partes en $N$.

Prueba: Sea $u^+=\max(u,0)$ y $u^-=\min(u,0)$. Por la regla de la cadena, $u^+,u^-\in W^{1,p}(\Omega)$ y $D_iu^+(x)=D_iu(x)$ si $u(x)>0$ y $D_i u^+(x)=0$ en caso contrario, y $D_i u^-(x)=D_iu(x)$ si $u(x)<0$ y $D_iu^-(x)=0$ en caso contrario. Dado que $D_iu(x)=D_i(u^++u^-)(x)=D_iu^+(x)=D_iu^-(x)$, el lema se cumple.$\square$

Prueba de la afirmación en la pregunta: Primero supongamos que $u\in C_0^\infty(\Omega)$. Entonces $\text{supp}(u-v)^+\subseteq\text{supp}(u)$, y una secuencia de mollificaciones de $(u-v)^+$, convergiendo a ella en $W^{1,p}(\Omega)$ eventualmente estará en $C^\infty_0(\Omega)$, y la afirmación se cumple.

Ahora supongamos que $u\in W_0^{1,p}(\Omega)$. Sea $\left\{u_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ una secuencia de funciones de $C_0^\infty(\Omega)$ que convergen a $u$. Tomando subsecuencias si es necesario, podemos asumir que $u_n\rightarrow u$ y $D_iu_n\rightarrow D_iu$ casi en todas partes en $\Omega$. Entonces $(u_n-v)^+\rightarrow (u-v)^+$ casi en todas partes puntualmente (para $x\in\Omega$, se consideran los casos $u(x)>v(x)$, $u(x)

Ahora, sea $x\in\Omega$ (de manera que $D_iu_n(x)\rightarrow D_iu(x)$). Si $u(x)>v(x)$ o $u(x)

Answer 2

Existe una caracterización de $W_0^{1,2}$ en términos de trazas puntuales: una función $u \in W^{1,2}(\Omega)$ pertenece a $W_0^{1,2}(\Omega)$ si y solo si $$ \lim_{r \to 0^+} \int_{B(x,r) \cap \Omega} |u(y)| \, dy = 0 $$ para cada punto cuasi$(1,2)$ en $\partial \Omega$. Dado que se asume que $u \in W^{1,2}_0(\Omega)$ y se señala que $|(u-v)^+| \le |u|$, se puede concluir que $(u-v)^+ \in W^{1,2}_0(\Omega)$ también.

Answer 3

Al tratar las propiedades detalladas de las funciones de Sobolev y la teoría del potencial no lineal asociada parece como hacerlo de la manera difícil. Aquí hay otro enfoque.

Reclamo. Sea $1< p<\infty$. Si $u\in W_0^{1,p}(\Omega)$, $w\in W^{1,p}(\Omega)$, y $0\le w\le u$, entonces $w\in W_0^{1,p}(\Omega)$.

Necesitamos un lema de truncamiento estándar. Aquí $u^+=\max(u,0).

Lema 1. Si $u \in W^{1,p}(\Omega)$, entonces $u^+ \in W^{1,p}(\Omega)$ y $|\nabla u^+|\le |\nabla u|$ casi en todas partes.

Prueba. Usa la caracterización ACL de $W^{1,p}$. Nota que $$|u^+(a)-u^+(b)|\le |u(a)-u(b)|,\qquad a,b\in \Omega \tag1$$ Dado que $u$ es absolutamente continuo en casi todos los segmentos coordenados paralelos, también lo es $u^+$ — solo mira la definición de continuidad absoluta y (1). Por lo tanto, en tales segmentos $u^+$ es diferenciable en casi todas partes. Nuevamente, (1) implica que sus derivadas parciales no pueden superar las derivadas parciales de $u$. $\Box$

Corolario 2. Si $u,v \in W^{1,p}(\Omega)$, entonces $\min(u,v) $ y $\max(u,v)$ están en $W^{1,p}(\Omega)$ y sus gradientes están acotados por $|\nabla u|+|\nabla v|$.

Prueba. Aplica el Lema 1 a $\dfrac{u+v}{2}\pm \dfrac{(u-v)^+}{2}$. $\Box$

Prueba del Reclamo: Sea $(w_n)$ y $(u_n)$ aproximaciones suaves a $w$ y $u$ en la norma de Sobolev, con $u_n$ de soporte compacto en $\Omega$. Entonces $f_n:=\min(w_n^+,u_n)$ es una secuencia de funciones lipšchitz compactamente soportadas. Por construcción, $f_n\to w$ casi en todas partes. De acuerdo al Lema 1 y al Corolario 2 vemos que $(f_n)$ es una secuencia acotada en la norma de $W^{1,p}$. Por lo tanto, tiene una subsecuencia $f_{n_k}$ que converge a algún $g\in W^{1,p}_0(\Omega)$ débilmente en $W^{1,p}$ y fuertemente en $L^p$ (esto último por Rellich-Kondrachov). Recordando que $f_n\to w$ casi en todas partes, concluimos que $g=w$. Así, $w\in W^{1,p}_0(\Omega)$. $\Box$

Observa cómo las herramientas "suaves" del análisis funcional nos ahorran la molestia de lidiar con los valores de borde. El conjunto $W^{1,p}_0(\Omega)$ está cerrado en $W^{1,p}(\Omega)$ por definición, y también es convexo. Desde el análisis funcional, es débilmente cerrado – y así obtenemos $g\in W^{1,p}_0(\Omega)$, no desde el análisis puntual de los valores de borde.