Considere la posibilidad de una teoría de gauge gauge grupo $GL(n,R)$.
Primero que todo, permítanme recordarles los fundamentos de la galga transformaciones:
Deje $G$ ser un indicador de grupo, $g(x)∈ G$ ser un elemento de $G$. Entonces:
$\psi (x)→g(x)\psi (x)$
$A_\alpha→g(x)A_\alpha g^{-1}(x)-\frac{∂g(x)}{∂x^{\alpha}}g^{-1}(x)$
es un indicador de la transformación, y la derivada covariante define como
${\nabla}_{\alpha}\psi = \frac{∂\psi}{∂x^{\alpha}}+A_\alpha \psi$
Ahora considere la posibilidad de coordenadas $(x^1, ..., x^n)$ en la región $U$. Se definen a base de vectores del espacio de $\frac{∂}{∂x^1},...,\frac{∂}{∂x^n}$. Así, el vector tangente campos en la región $U$ puede ser considerado como vector de valores de funciones: $\xi = (\xi^1,...,\xi^n)$.
Cambio de coordenadas en $U$: $x^{\nu}→x^{{\nu^{\prime}}}=x^{{\nu^{\prime}}}(x)$ define locales de transformación:
$\xi^\nu→\xi^{\nu^\prime} = \frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\xi^\nu = g(x)\xi$.
Aquí matriz $g(x) = (\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu})$ pertenece a $GL(n,R)$, y la inversa de la matriz tiene la forma $g^{-1}(x)=(\frac{∂x^\nu}{∂x^{\nu^\prime}})$.
Mentira álgebra de $GL(n,R)$ está formado por todas las matrices de grado $n$, por lo que el "medidor de campo" $A_\mu (x)$ es también la matriz de grado $n$. Deje que nos indican que elementos de la siguiente manera:
$(A_\mu)^{\nu}_{\lambda}=\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}$.
Derivada covariante del vector $\xi$ lee como sigue:
$(\nabla_{\mu}\xi)^\nu=\frac{∂\xi^\nu}{∂x^\mu}+\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}\xi^\lambda ↔ \nabla_\mu \xi=\frac{∂\xi}{∂x^\mu}+A_\mu \xi$ (lado derecho es en la forma de la matriz!)
Sólo hay una cosa a la izquierda para comprobar, a saber, la forma de medidor de campo de la transformación.
El uso de la regla general de la transformación de medidor de campo se obtiene:
$\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}→\Gamma^{\nu^\prime}_{\lambda^\prime \mu}=\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}\frac{∂x^\lambda}{∂x^{\lambda^\prime}}+\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\frac{∂}{∂x^\mu}(\frac{∂x^\nu}{∂x^{\lambda^\prime}})$.
Desde $A_\mu$ es un vector covariante, a continuación,$A_{\mu^\prime}=\frac{∂x^\mu}{∂x^{\mu^\prime}}A_\mu$. Por lo tanto obtenemos:
$\Gamma^{\nu^\prime}_{\lambda^\prime \mu^\prime}=\frac{∂x^\mu}{∂x^{\mu^\prime}}\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\Gamma^{\nu}_{\lambda \mu}\frac{∂x^\lambda}{∂x^{\lambda^\prime}}+\frac{∂x^{\nu^\prime}}{∂x^\nu}\frac{∂^2 x^\nu}{∂x^{\lambda^\prime}∂x^{\mu^\prime}}$.
Q. E. D.
Y el comentario final: el conmutador de dos covariante derivados conduce a la expresión del tensor de Riemann:
$(F_{\mu\nu})^\rho_\lambda = R^\rho_{\lambda ,\mu\nu}$
EDITAR:
Queridos Oaoa,
Yo no soy un GR especialista, así que lo que he escrito a continuación podría estar equivocado.
Mi primer consejo es el siguiente: no leer Landau, que es la mezcla de dos conceptos fundamentales: la conexión y la métrica.
En lugar de eso os animo a leer "el Espacio-tiempo de la estructura" de Erwin Schrödinger.
Con el fin de responder a su pregunta primero vamos a separar las funciones de conexión y las métricas.
- La conexión se utiliza para el transporte paralelo y permite comparar dos vectores en diferentes puntos. Consecuencia importante es que el uso de una conexión puede introducir el tensor de curvatura (que puede ser contratado para la curvatura escalar). La curvatura aparece al transporte de vectores a lo largo de la curva cerrada y, a continuación, compare con el vector inicial. La curvatura escalar es entonces utilizado para la construcción de "campo de acción" al igual que en todas las teorías gauge.
Como se muestra en la Schrödinger, libro, conexión también puede ser usado para medir la distancia a lo largo de la línea geodésica (vale la pena señalar que la expresión "medida" es por lo tanto similar a la expresión de Feynman de la ruta integral de acción!). Pero en general, la conexión no puede ser utilizado para la medición de distancias entre puntos arbitrarios.
Métrica se presentó para la medición de distancias entre puntos arbitrarios y la definición de vector de productos.
La conexión y la Métrica son conceptos independientes. Sólo a condición adicional de que su consistencia (es decir, cuando se requiere que el vector producto es invariante cuando ambos vectores son paralelos transportado) permite expresar la conexión a través del tensor métrico.
Volvamos a tu pregunta ahora. Todo lo que está escrito acerca de $GL(n,R)$ anterior está relacionado con la conexión sólo. En primer lugar, permite expresar "campo de acción" en términos de un escalar de curvatura. Pero lo que más le interesa es, probablemente, no es esto, sino la conservación de las leyes relacionadas con la materia de los campos.
En la teoría con punto de partículas funciones de $\xi$ (o $\psi$) puede estar asociada con vectores $\frac{dx^\nu}{ds}$. No estoy seguro, pero consecuente ley de conservación de la es probablemente de energía-impulso de conservación. Creo que es el mismo en la relatividad Especial, donde el espacio es plano y todas las conexiones son cero, pero indirectamente a la conservación de la energía-momentum en SR podría ser una consecuencia de la "conservación", null curvatura por la transformación de Lorentz (por favor, tenga en cuenta que la homogeneidad del espacio-tiempo medio curvatura cero).
Sé que esperar a ver algunas otras conservas cantidades similares a "carga eléctrica" conservación de Dirac en la teoría de los electrones. Pero por favor, tenga en cuenta que en la teoría de Dirac "global" de la conservación de la "carga" es prácticamente indistinguible de la conservación de la energía-impulso. Como para las teorías – no sé, modelo concreto deben ser considerados.
