Respuesta Dice $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^3y^2}{x^4+y^6} = 0$. Yo digo DNE. ¿Qué hice mal?

Question

Me pidió a encontrar $$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^3y^2}{x^4+y^6}$$

Observe que la configuración de la forma y=mx resultados en $$\lim_{(x,mx)\rightarrow(0,0)}\frac{x^3(mx)^2}{x^4+(mx)^6} = 0$$ El libro de texto de la solución, a continuación, demostró que el límite es 0, usando el teorema del sándwich.

Sin embargo, traté de establecer y=x^(4/6) y tengo: $$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^3(x^{\frac{4}{6}})^2}{x^4+(x^{\frac{4}{6}})^6} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^4}{x^4+x^4} = \frac{1}{2}$$

Así que llegué a la conclusión de que el límite no existe. Yo no estoy convencido de que mi solución es correcta, yo realmente apreciaría saber la razón por la que estoy equivocado.

Gracias

Answer 1

Tenga cuidado en sus cálculos... $(x^{4/6})^2 = x^{4/3}$ y, a continuación,$x^3 x^{4/3} = x^{13/3}$. El resultado final de la expresión es$$\frac{x^{13/3}}{2x^4} = \frac{1}{2}x^{1/3}$$, que no converge a cero.

Answer 2

Otro enfoque:

$$\frac{x^3y^2}{x^4+y^6}\stackrel{\text{Polar Coord.}}=\frac{r^5\cos^3\theta\sin^2\theta}{r^4(\cos^4\theta+r^2\sin^6\theta)}=r\frac{\cos^3\theta\sin^2\theta}{\cos^4\theta+r^2\sin^6\theta}\xrightarrow[r\to0]{}0$$