Noción de finito dimensionales simplicial espacio

Question

Me preguntaba, qué $N$-dimensiones simplicial espacio de $X$ debe ser. Por supuesto, la degeneración de los mapas de la fuerza que los espacios se vacía en altas dimensiones. Actualmente tengo dos versiones diferentes, y me pregunto si son equivalentes:

1) no Hay ninguna degenerada de simplexes por encima de la dimensión de $N$.

2) Deje $\Delta|_N$ a la totalidad de la subcategoría de $\Delta$ consiste de los objetos $[0],\ldots ,[N]$. La inclusión induce una restricción functor $R$ $\Delta-$espacios a $\Delta|_N$-espacios, que ha dejado adjoint $L$. Hay un canónica mapa $L(R(X))\rightarrow X$. $X$ debe ser llamado $N$-dimensional, en el fib este mapa es un isomorfismo,es decir, un homeomorphism en cada objeto de $\Delta$.

Para hacer la pregunta más precisa: $2)\Rightarrow 1)$ puede ser visto fácilmente, como el mapa de $L(R(X))\rightarrow X$ no puede golpear cualquier degenerada simplex por encima de la dimensión de $N$ por la construcción. Al revés: Dado $1)$, entonces todos los mapas que ocurren en la transformación natural son surjective y continua. Inyectividad debe seguir a partir de las relaciones en $\Delta$. Entonces, ¿por qué es la inversa del mapa de series continua?

(En la categoría de simplicial conjuntos (y no espacios) ambas nociones debe ser equivalente, utilizando la misma argumentación.)

Answer 1

Interesante pregunta!

Soy cautelosamente optimista de que 1) $\Rightarrow$ 2). Como usted dice, si $X$ satisface 1), a continuación, $L(R(X))\to X$ es un continuo bijection. (Porque es una declaración sobre el punto-conjuntos, y la verdad es para simplicial conjuntos.)

Si $N=0$, debería ser fácil: $L(R(X))$ es la constante simplicial espacio, cuyo valor en cada uno de [k] es $X_0=X([0])$. La canónica mapa de $L(R(X))\to X$ es el que en la licenciatura $k$ está dado por el mapa de $s:X_0\to X_k$ definido por la composición de la degeneración de los operadores. Pero sabemos que el compuesto $X_0\to X_k\to X_0$ es la identidad, donde $d:X_k\to X_0$ es un compuesto de cara a los operadores. Así que si $s$ es un bijection, $d$ es su constante inversa.

Para general $N$, vamos a $Y=L(R(X))$. El functor $R$ también tiene derecho adjuntos, que voy a llamar a $M$. Deje $Z=M(R(X))$. Así como el espacio de $Y_k$ parece un colimit de un cierto diagrama de los espacios de $X_0,\dots,X_N$, el espacio de $Z_k$ se ve como un límite de un determinado diagrama de estos espacios.

Hay canónica mapas de $Y=L(R(X)) \to X \to M(R(X))=Z$. Me gustaría afirmar que el compuesto $f:Y\to Z$ da un homeomorphism de $Y$ sobre su imagen. Si usted puede probar este, que le dará a su resultado, ya que un continuo inversa de a $Y\to X$ será dado por $X\to f(Y)\approx Y$.

Answer 2

ACEPTAR revisé, cómo el adjunto functors parece. Dado cualquier $\Delta|_N $ simplicial espacio de $X$. Para definir $L(X)$, tenemos que extender $X$ para el conjunto de la categoría de $\Delta$. Sólo estoy diciendo, lo $L(X)$ en $[N+1]$. Entonces usted mantener ampliar el functor de la misma manera:

$L(X)([N+1]):=(0,\ldots,N)\times X([N])/\sim$, donde la relación es de equivalencia dada por $(j,s_k(x))\sim (k+1,s_j(x))$ $0\le j\le k\le N,x\in X[N-1]$ . El $i$-th degeneración mapa es inducida por la inclusión de la i-ésima sumando. El uso de las relaciones en $\Delta$ también se puede definir la cara de los mapas.

El derecho functor adjunto está dada por $M(X)([N+1]):= ( (x_0,\ldots,x_{N+1})|\partial_ix_j=\partial_{j-1}x_i\mbox{ for } 0 \le i < j \le N+1 )\subset \prod_{i=0}^{N+1}X[N]$. La cara mapas son sólo las proyecciones y uno puede definir la degeneración de los mapas de uso de las relaciones en $\Delta$.

Así que vamos a $X$ $\Delta$- espacio. La natural transformación está dada por $L(R(X))([N+1])\rightarrow M(R(X))([N+1])\qquad (i,x)\mapsto (\partial_0 s_i(x),\ldots,\partial_{N+1} s_i(x))$.

El uso de las relaciones en $\Delta$ se puede demostrar que este mapa es inyectiva. Así que la pregunta es, si este mapa es un mapa open (considerado como un mapa en la imagen).

Answer 3

Yo sólo quería escribir un comentario, que yo podría mostrar la parte superior de equivalencia conly para simplicial conjuntos y simplicial espacios de Hausdorff (pero esta respuesta es demasiado largo para un comentario).

Esta pregunta tiene sentido que en otras categorías de sustitución 1) por

1') El lapso de todos los degenerados de subobjetos $s_0(X([N-1])),\ldots,s_{N-1}(X([N-1]))$ es el total de $X([N-1])$.

Por ejemplo falla en la categoría de simplicial grupos. Hay dos simplicial grupos $X$$Y$ , cuyas restricciones a $\Delta|_1$ está de acuerdo. Pero si consideramos el lapso de todos los degenerados de los elementos en $X([2])$ resp. $Y([2])$ los abarca no son isomorfos. Considerar el conjunto simplicial $S$ con un 0-simplex $a$ y 1 degenerada 1-simplex $b$. Definir $X([k]):=Y([k]):=\mathbb{Z}(S([k])$$k=0,1$. A continuación, puede definir $X([2])$ $\mathbb{Z}(a,s_0(b),s_1(b))$ $Y([2])$ $\mathbb{Z}(a)\times F(s_0(b),s_1(b))$ donde $F(s_0(b),s_1(b))$ denota el grupo libre en $s_0(b),s_1(b)$.

La cara y la degeneración de los mapas en $S$ inducir en ambos casos bien definidos cara y la degeneración de los mapas. Por lo tanto, esta muestra, que $X$ $Y$ dar un contraejemplo.