Es cada primer número de la pierna de exactamente un triángulo rectángulo con el entero lados? Lo que está mal con mi argumento de que esto es imposible?

Question

El problema es: "demostrar que todo número primo es la pierna de exactamente un triángulo rectángulo con el entero lados." Sin embargo, me parece que han demostrado que esto es imposible. ¿Qué hice mal aquí?

Deje $p$ $a$ ser los catetos de un triángulo rectángulo, vamos a $c$ ser la hipotenusa, y deje $p$ ser primer. A continuación,$p^2+a^2=c^2$. Ahora vamos a $a=kp$ para alguna constante k. Este se convierte ahora en el $p^2+k^2p^2=c^2$ o $p^2(k^2+1)=c^2$. Desde $p$ $c$ son enteros, se sigue que k debe ser un número entero, así que $a$ es un múltiplo de a $p$. Ahora tome la raíz cuadrada: $p\sqrt{k^2+1}=c$. De nuevo, desde el $p$ $c$ son enteros, $\sqrt{k^2+1}$ también debe ser un número entero, por lo $k^2+1$ debe ser un cuadrado perfecto. Sin embargo, se ha demostrado que el $k$ es en sí mismo un cuadrado perfecto, y no hay dos cuadrados perfectos $u$ $v$ tal que $u-v=1$.

¿Qué hice mal aquí? Gracias!

Answer 1

Nota: no hay nada en el enunciado del problema que requieren $a = kp$ para algunos entero $k$, dado prime $p$.

La segunda etapa no tiene que ser un múltiplo de la primer pierna. Nos gustaría mostrar que para un triángulo rectángulo con una pierna cuya longitud es una de las principales $p$, una pierna de longitud $s$ y una hipotenusa de longitud $h$, $$p^2 + s^2 = h^2 \iff p^2 = h^2 - s^2 = (h+s)(h-s) $$ $$\iff h-s = 1 \iff p^2 = h + s \iff p \;\text{ is an odd number}.$$

Para nota, lo que nos puede demostrar que si $p$ es un extraño prime, entonces existe un triángulo con una pierna cuya longitud es igual a $p$.

Usted también puede tratar de demostrar la singularidad con que se aproxime a esta mediante una prueba por contradicción. Es decir, se argumenta que para cualquier longitud de $p$ de un cateto de un triángulo rectángulo, donde $p$ es el prime, $p \neq 2$, $p$ determina un único triángulo con todas las longitudes de lados enteros. Hemos demostrado que un triángulo existen en una determinada $p$, pero tenemos que demostrar que no es solo un número entero de longitud para cada uno de la segunda etapa, y de la hipotenusa. Así que supongamos que, por el bien de la contradicción, de que hay 2 diferentes triángulos, cada uno con una longitud de pierna igual a $p$; pero con diferente número entero de longitudes para la segunda etapa y/o la hipotenusa, respectivamente. A continuación, sostienen a una contradicción. Una vez que una contradicción es llegar, podemos concluir que, en efecto, uno y sólo uno de esos triángulo existe para cualquier extraño prime $p$.

Answer 2

Para responder a la pregunta en la primera parte del título, tenga en cuenta que si $a,p$ son catetos de un triángulo rectángulo con hipotenusa$~c$,$p^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)$. Si los números están obligados a ser distinto de cero enteros y $p$ es primo, entonces usted puede mostrar el uso exclusivo de la factorización de que la única posibilidad es tener $c-a=1$. A continuación, puede ver que esta posibilidad puede ser realizada si y sólo si $p$ es impar, por lo tanto en la cuestión de la palabra "extraño" quedó en el olvido antes de "prime", o la respuesta es simplemente "no".

Answer 3

No hay justificación para el supuesto de que $a$ es un múltiplo de a $p$ (en "let $a = kp$"). Considerar el clásico triángulo con lados de longitud $3$, $4$, y $5$. Entonces $a = 4$, $p = 3$, y $c = 5$, e $3^2 + 4^2 = 5^2$. Sin embargo, no hay ningún número entero $k$ tal que $4 = 3k$.

Answer 4

Ya le han dicho a donde su argumento fallado, así que no voy a tocar esa parte de la pregunta. Aquí está una demostración geométrica de la proposición.

Existencia: queremos demostrar que no es un triángulo rectángulo con el entero lados y una pierna de longitud $p$, por alguna extraña prime $p$. Si de hecho hay uno, por Pitágoras teorema tenemos $p^2=c^2-b^2$ para algunos enteros positivos $c$$b$. En particular, $p^2$ va a ser una diferencia de dos cuadrados (la cuadrícula no está a la escala de la imagen):

$\hskip 2.3 in$

Observar que $p^2$ es impar, por lo tanto $\frac{p^2 -1}{2}$ es y entero y $c=\frac{p^2 -1}{2}+1,b=\frac{p^2 -1}{2}$ hará: $$ c^2-b^2 = 2 \frac{p^2 -1}{2}+1 =p^2 $$

Singularidad: aceptar las sugerencias de amWhy o Marc van Leeuwen, o utilizar el siguiente argumento. Si hay otra forma para adaptarse a $p$ en un derecho, el rectángulo, el área cubierta por $p^2$ span $n>1$ líneas ($n=4$ en la imagen):

$\hskip 1.8 in$

En particular $$ p^2 = 2n(c-n)+n^2 = n\left[2(c-n)+n\right] $$ por lo tanto,$n\leq p$$n\mid p^2$. Pero $n\mid p^2$ implica $n\mid p$, y si $n=p$ tendríamos $b=0$. Por lo tanto el único caso posible es $n=1$, según se requiera.