¿Es posible construir una curva suave con dimensión Hausdorff fraccionaria?

Question

Se sabe que las curvas fractales tienen una dimensión de Hausdorff fraccional. Estas curvas no son suaves y tienen una longitud indefinida. Sin embargo, ¿es cierto lo contrario?

Si una curva tiene una dimensión Hausdorff fraccionaria, entonces debe ser no lisa/no diferenciable?

Answer 1

Una curva rectificable tiene $\sigma$ -finito y distinto de cero $1$ -medida de Hausdorff (esencialmente, la longitud es lo que $1$ -es la medida de Hausdorff). Por tanto, debe tener dimensión de Hausdorff $1$ . Así, una curva cuya dimensión de Hausdorff no es $1$ no puede ser rectificable, y ciertamente no puede ser suave.

Answer 2

Si $f$ es continua, entonces se puede cubrir $f$ con cajas de altura $2\epsilon$ (y de anchura variable) alrededor de los puntos del gráfico. Para un dominio compacto, basta con una subcubierta finita y apenas superpuesta, que demuestre que el grafo tiene medida de Hausdorff $0$ .